2016届高三第十次模拟考试
数学试题（理科）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则M∩N＝ ( )
Ａ．{0} Ｂ．{0，1} Ｃ．{0，2} Ｄ．{1，2}
2．下列说法中正确的是 ( )
Ａ．“x＞5”是“x＞3”的必要不充分条件
Ｂ．命题“对"x∈R，恒有x2＋1＞0”的否定是“$x∈R，使得x2＋1≤0”
Ｃ．$m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
Ｄ．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题
3．设a＋b＜0，且b＞0，则 ( )
Ａ．b2＞a2＞ab Ｂ．b2＜a2＜－ab Ｃ．a2＜－ab＜b2 Ｄ．a2＞－ab＞b2
4．函数y＝x2－2lnx的单调递减区间是 ( )
Ａ．[1，＋∞) Ｂ．(0，1]
Ｃ．(－∞，－1]，(0，1] Ｄ．[－1，0)，(0，1]
主视图
2
2
左视图
2
俯视图
4
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )
Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．4 Ｄ．12
6．已知＝(α为锐角)，则sinα＝( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
开始
否
是
输出
结束
①
②
第8题图
7．已知双曲线的左顶点与抛物线 的焦点的距离为,且双曲线的一条渐近线与抛物
线的准线的交点坐标为,则双曲线的方程为( )
A． B．
C． D．
8．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图
中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是( )
A． B．
C． D．
9. 如图，在等腰梯形中，. 点在
线段上运动，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
10．已知实数x，y，z满足：x＋y－6＝0，z2＋9＝xy，则x2＋＝ ( )
Ａ．6 Ｂ．12 Ｃ．18 Ｄ．36
11．集合A，B的并集A∪B＝{a1，a2，a3，a4}，当A≠B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数为 ( )
A. 12 B. 24 C. 64 D. 81
12.直线与轴的交点分别为, 直线与圆的交点为. 给出下面三个结论：
① ； ②；③
则所有正确结论的序号是 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.的展开式中常数项为 .
14．一个四面体，其中一个顶点A的三个角分别为60°，θ，90°，其中tanθ＝2，则θ角与60°角所在面的二面角的余弦值为 .
15．已知点，其中满足，则的取值范围 ，的最大值是 ．
16. 正整数，满足，若关于，的方程组有且只有一组解，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）已知函数的部分图象如下图所示，
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）在中，角A，B，C对的边分别为a,b,c，若在上的最大值为c,且C=60°，求的面积的最大值．
P
C
D
A
B
E
18．(本小题满分12分)
如图，在底面为直角梯形的四棱锥P–ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝，BC＝6．
(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；
(Ⅱ)求二面角P–BD–A的大小．
19．(本小题满分12分)
厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；
(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E(ξ)，并求该商家拒收这批产品的概率．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的上顶点为，且离心率
为．
（1）求椭圆的方程；
（2）从椭圆上一点向圆引两条切线，切点为，当直线分别与
轴，轴交于两点时，求的最小值．
21．(本小题满分12分)
已知f(x)＝(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数．
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A；
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)＝的两个非零实根为x1，x2．试问是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分。
22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲
已知为圆上的四点，直线为圆的切线，
为切点，，与相交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．
23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取
相同的长度单位．已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为
（为参数,为直线的倾斜角）．
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线有唯一的公共点,求角的大小．
24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲
已知，．
（1）求的最小值；
（2）若的最小值为，求的最小值．
2016届高三十模试题卷
理 科 数 学答案
一、选择题
1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.B 11.D 12.C
二、填空题
13. 14. 15. 9 16. 2016
三、解答题
17. （Ⅰ）； ………………………6分
（Ⅱ）结合图像可知，由余弦定理得，
，
所以的面积的最大值为…………………12分
18. (Ⅰ)以A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建系，则
A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，6，0)，D(0，2，0)，P(0，0，3)，
∴＝(0，0，3)，＝(，6，0)，＝(－，2，0)，
∴·＝0，·＝0，
∴BD⊥AP，BD⊥AC，AP∩AC＝A，∴BD⊥平面APC． (6分)
(Ⅱ)设平面ABD的法向量为m＝(0，0，1)，平面PBD的法向量为n＝(x，y，1)，
由ÞÞ∴n＝，∴cosám，nñ＝．
所以二面角P–BD–A的大小为60°． (12分)
19. (Ⅰ)记“任取4件产品，至少有1件是合格品”为事件A，则
P(A)＝1－＝1－(0.2)4＝0.9984． (4分)
(Ⅱ)ξ可能的取值为0，1，2，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝． (10分)
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率
P＝1－P(B)＝1－＝；所以商家拒收这批产品的概率为． (12分)
20.解：（1），所以椭圆的方程为；
……4分（2）设点的坐标分别为，过点的圆的切线方程为
，过点的圆的切线方程为，两条切线都过点，所以
，，则切点弦的方程为，……7分，由题意知，所以，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．……12分
21. (Ⅰ)f¢(x)＝＝，因为f(x)在区间[－1，1]上是增函数，所以f¢(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立，设φ(x)＝x2－ax－2，φ(1)＝1－a－2≤0，φ(－1)＝1＋a－2≤0Û－1≤a≤1．
因为对x∈[－1，1]，f(x)是连续不断的，且只有当a＝1时，f¢(－1)＝0以及当a＝－1时，f¢(1)＝0，所以A＝{a|－1≤a≤1}． (6分)
(Ⅱ)由＝，得x2－ax－2＝0，∵D＝a2＋8＞0，∴x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两非零实根，有x1＋x2＝a，x1x2＝－2，∴|x1－x2|＝＝．
因为－1≤a≤1，所以|x1－x2|＝≤3．要使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，当且仅当m2＋tm＋1≥3，即m2＋tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立，所以Þm≥2或m≤－2． (11分)
所以，存在实数m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
m的取值范围是{m|m≥2或m≤－2}． (12分)
22. （1），
又切圆于点，，
，而，，即BD平分∠ABC；……5分
（2）由（I）知，又，
又为公共角，∴与相似，，
∵AB＝4，AD＝6，BD＝8，∴．……10分
23. （1）当时,直线的普通方程为；当时,直线的普通方程为. ……2分 由,得,所以,即为曲线的直角坐标方程. ……4分
（2）把,代入,整理得.
由,得,所以或,
故直线倾斜角为或. ……10分
24. （1）∵，∴在是减函数，在是增函数．∴当时，取最小值． ……5分
（2）由（1）知，的最小值为，∴．∵，
，当且仅当，即时，取等号，∴的最小值为． ……10分
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