一元二次方程单元检测
一．选择题（共12小题）
1．m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（ ）
A．2013 B．2016 C．2017 D．2018
2．已知x=1是二次方程（m2﹣1）x2﹣mx+m2=0的一个根，那么m的值是（ ）
A．0.5或﹣1 B．﹣0.5 C．0.5或 1 D．0.5
3．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
4．若关于x的不等式x﹣＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2=﹣ B．x1•x2=1
C．x1，x2都是有理数 D．x1，x2都是正数
6．把一元二次方程x2﹣4x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，则p、q的值是（ ）
A．p=﹣2，q=5 B．p=﹣2，q=3 C．p=2，q=5 D．p=2，q=3
7．方程2（2x+1）（x﹣3）=0的两根分别为（ ）
A．和3 B．﹣和3 C．和﹣3 D．﹣和﹣3
8．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）=15 B．x（x﹣1）=15 C．x（x+1）=15 D．x（x﹣1）=15
9．某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（ ）
10
A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 B．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 C．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 D．（2﹣3x）（1﹣2x）=2
10．对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：a★b=．若2★m=36，则实数m等于（ ）
A．8.5 B．4 C．4或﹣4.5 D．4或﹣4.5或8.5
11．如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确
12．已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，那么+的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
二．填空题（共6小题）
13．一元二次方程x2﹣3=0的两个根是 ．
14．用配方法解一元二次方程x2+6x=1时，应该在等式两边都加上 ．
15．已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是 ．
16．波音公司生产某种型号飞机，7月份的月产量为50台，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98台，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是 ．
17．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是 ．
18．若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为 ．
三．解答题（共8小题）
19．4x2﹣3=12x（用公式法解）
20．（1）解方程：2x2﹣5x+3=0；
10
（2）化简（﹣x+1）÷．
21．解下列方程：
（1）x2+2x=0；
（2）=+1．
22．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
23．东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
24．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？
25．如图的六边形是由甲、乙两个矩形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，已知丙的直角边长为2，丁的直角边长为a（a＜2），求a的值．
10
26．阅读下列材料：
（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，
（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则= ，= ，= ；
（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．
10
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，
∴m2+m﹣1=0，
即m2+m=1，
∴2m2+2m+2015=2（m2+m）+2015=2+2015=2017．
故选C．
2．【解答】解：把x=1代入方程可得m2﹣1﹣m+m2=0，
解得：m=﹣0.5或m=1，
∵m2﹣1≠0
∴m=﹣0.5．
故选B．
3．【解答】解：∵△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选D．
4．【解答】解：解不等式x﹣＜1得x＜1+，
而不等式x﹣＜1的解集为x＜1，
所以1+=1，解得a=0，
又因为△=a2﹣4=﹣4，
所以关于x的一元二次方程x2+ax+1=0没有实数根．
故选C．
5．【解答】解：根据题意得x1+x2=＞0，x1x2=＞0，
所以x1＞0，x2＞0．
故选D．
6．【解答】解：∵x2﹣4x=﹣1，
∴x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，
则p=﹣2，q=3，
10
故选：B．
7．【解答】解：2（2x+1）（x﹣3）=0，
2x+1=0，x﹣3=0，
x1=﹣，x2=3，
故选B．
8．【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）=15．
故选B．
9．【解答】解：设人行通道的宽度为x千米，
则矩形绿地的长为：（2﹣3x），宽为（1﹣2x），
由题意可列方程：2×（2﹣3x）（1﹣2x）=×2×1，
即：（2﹣3x）（1﹣2x）=1，
故选：A．
10．【解答】解：根据题意，得
①当2≥m时，
2★m=4m+2=36，即4m+2=36，
解得，m=＞2（不合题意，舍去）；
②当2＜m时，
2★m=2m2+m=36，即2m2+m﹣36=0，
∴（m﹣4）（2m+9）=0，
∴m﹣4=0或2m+9=0，
∴m=4，或m=﹣4.5＜2，（不合题意，舍去），
综合①②，m=4．
故选B．
11．【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0得：
x1=4，x2=1，
根据三角形的三边关系定理等腰三角形的三边只能为4、4、1，
∴等腰三角形的周长是4+4+1=9，
10
即等腰三角形的周长是9，
故选B．
12．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2=0的两根为a，b，
∴a+b=3，ab=﹣2，
∴=．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
13．【解答】解：方程变形为x2=9，
x=±3，
所以x1=3，x2=﹣3．
故答案为x1=3，x2=﹣3．
14．【解答】解：用配方法解一元二次方程x2+6x=1时，应该在等式两边都加上32，即9，故答案为：9．
15．【解答】解：∵m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，
∴m2﹣2017m+1=0，
∴m2=2017m﹣1，
∴原式=2017m﹣1﹣2018m++3
=﹣1﹣m+m+3
=2．
故答案为2．
16．【解答】解：设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x，
由题意得，50×（1+x）2=98，
解得：x=0.4或x=﹣2.4（不合题意舍去），
即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是40%．
故答案为：40%．
17．【解答】解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，
依题意，得（x+7+x）2=10（x+7）+x
整理得：4x2+17x﹣21=0
10
解得：x1=1，x2=﹣（舍去）
所以，x=1，x+7=8．
答：这个两位数是81．
18．【解答】解：设t=a+b，则由原方程得到：
t（t﹣6）+9=0，
整理，得
（t﹣3）2=0，
解得t=3．
即a+b=3．
故答案是：3．
三．解答题（共8小题）
19．【解答】解：原方程整理为：4x2﹣12x﹣3=0，
∵a=4，b=﹣12，c=﹣3，
∴△=144﹣4×4×（﹣3）=192＞0，
则x==．
20．【解答】解：（1）（2x﹣3）（x﹣1）=0，
2x﹣3=0或x﹣1=0，
所以x1=，x2=1；
（2）原式=•
=•
=﹣．
21．【解答】解：（1）方程左边因式分解可得x（x+2）=0，
∴x=0或x+2=0，
解得：x=0或x=﹣2；
（2）方程两边都乘以2（x﹣1），得：4=3+2（x﹣1），
解得：x=，
检验：x=时，2（x﹣1）=1≠0，
10
∴原分式方程的解为x=．
22．【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1=﹣a，x•1=a﹣2，
解得：x=﹣，a=，
即a=，方程的另一个根为﹣；
（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
23．【解答】解：（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）．
答：此批次蛋糕属第三档次产品．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，
根据题意得：（2x+8）×（76+4﹣4x）=1080，
整理得：x2﹣16x+55=0，
解得：x1=5，x2=11（不合题意，舍去）．
答：该烘焙店生产的是五档次的产品．
24．【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，
由题意得，=，
解得：x=1200，
经检验x=1200是原方程的根，
则x+300=1500，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，
解得：x=1600，
答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．
25．【解答】解：依题意得：2a+2a=×22+a2，
4a=2+a2，
10
∴a2﹣8a+4=0，
∴a=4±2，
∵4+2＞2，不合题意舍，
4﹣2＜2，合题意，
∴a=4﹣2．
26．【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1=0，
∴x+=4，
∴（x+）2=16，
∴x2+2+=16，
∴x2+=14，
∴（x2+）2=196，
∴x4++2=196，
∴x4+=194．
故答案为4，14，194．
（2）∵2x2﹣7x+2=0，
∴x+=，x2+=，
∴=（x+）（x2﹣1+）=×（﹣1）=．
10
微信/支付宝扫码支付