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专题 3.3 二次函数
一、单选题
1．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足函数表达式 h=﹣t2+24t+1．则
下列说法中正确的是（ ）
A. 点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同
B. 点火后 24s 火箭落于地面
C. 点火后 10s 的升空高度为 139m
D. 火箭升空的最大高度为 145m
【来源】江苏省连云港市 2018 年中考数学试题
【答案】D
点睛：本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
2．二次函数 的图像如图所示，下列结论正确是( )
A. B. C. D. 有两个不相等的实数根
【来源】广东省深圳市 2018 年中考数学试题
【答案】C2
【解析】【分析】观察图象：开口向下得到 a＜0；对称轴在 y 轴的右侧得到 a、b 异号，则 b＞0；抛物线与 y
轴的交点在 x 轴的上方得到 c＞0，所以 abc＜0；由对称轴为 x= =1，可得 2a+b=0；当 x=-1 时图象在 x 轴
下方得到 y=a-b+c＜0，结合 b=-2a 可得 3a+c＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程
有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.
【详解】观察图象：开口向下得到 a＜0；对称轴在 y 轴的右侧得到 a、b 异号，则 b＞0；抛物线与 y 轴的
交点在 x 轴的上方得到 c＞0，所以 abc＜0，故 A 选项错误；
∵对称轴 x= =1，∴b=-2a，即 2a+b=0，故 B 选项错误；
当 x=-1 时， y=a-b+c＜0，又∵b=-2a，∴ 3a+c＜0，故 C 选项正确；
∵抛物线的顶点为（1，3），
∴ 的解为 x1=x2=1，即方程有两个相等的实数根，故 D 选项错误，
故选 C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当 a＞0，开
口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线 x= ，a 与 b 同号，对称轴在 y
轴的左侧，a 与 b 异号，对称轴在 y 轴的右侧；当 c＞0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方；当△=b2-4ac＞
0，抛物线与 x 轴有两个交点．
3．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图像与 轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在 轴的右侧
C. 当 时， 的值随 值的增大而减小 D. 的最小值为-3
【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题
【答案】D
【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当 x=0 时，y=-1，故选项 A 错误，
该函数的对称轴是直线 x=-1，故选项 B 错误，
当 x＜-1 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 C 错误，
当 x=-1 时，y 取得最小值，此时 y=-3，故选项 D 正确，
故选 D．
点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解3
答．
4．已知二次函数 ( 为常数),当自变量 的值满足 时,与其对应的函数值 的最大值为-1,
则 的值为( )
A. 3 或 6 B. 1 或 6 C. 1 或 3 D. 4 或 6
【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：分 h＜2、2≤h≤5 和 h＞5 三种情况考虑：当 h＜2 时，根据二次函数的性质可得出关于 h
的一元二次方程，解之即可得出结论；当 2≤h≤5 时，由此时函数的最大值为 0 与题意不符，可得出该情
况不存在；当 h＞5 时，根据二次函数的性质可得出关于 h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可
得出结论．
详解：如图，
当 h＜2 时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当 2≤h≤5 时，y=-（x-h）2 的最大值为 0，不符合题意；
当 h＞5 时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h 的值为 1 或 6．
故选 B．
点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分 h＜2、2≤h≤5 和 h＞5 三种情况求出 h 值是解
题的关键．
5．已知抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过点 ， ，其对称轴在 轴右侧，有下
列结论：
①抛物线经过点 ；
②方程 有两个不相等的实数根；
③ .4
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【来源】天津市 2018 年中考数学试题
【答案】C
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程
的关系，不等式的性质等知识，难度适中．
6．如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点 B
（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为 a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当 y＞0 时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【来源】山东省滨州市 2018 年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与 x 轴的交点，进而分别分析得出答案．5
详解：①∵二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，且开口向下，
∴x=1 时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为 a+b+c，故①正确；
②当 x=﹣1 时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与 x 轴有 2 个交点，故 b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为 x=1，与 x 轴交于点 A、点 B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当 y＞0 时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选 B．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出 A 点坐标是解题关键．
7．如图是二次函数 （ ， ， 是常数， ）图象的一部分，与 轴的交点 在点 和
之间，对称轴是 .对于下列说法：
① ；② ；③ ；④ （ 为实数）；⑤当 时， ，其中
正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
【来源】2018 年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题
【答案】A
【解析】【分析】由开口方向和对称轴的位置可判断①；由对称轴为直线 x=1 可判断②；由 x=3 时 可
判断③；根据函数在 时取得最大值，可以判断④，由-1
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