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福州一中2015-—2016学年第二学期校质量检查试卷
高三文科数学试卷
（完卷时间120分钟 满分150分）
（请将选择题和填空题的答案写在答案卷上）
参考公式：
样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式
s= V=Sh
其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh ，
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设复数, 若为纯虚数,则实数=
(A) (B) (C) 1 (D)
(2)若集合，则
(A) (B) (C) (D)
(3)已知命题；命题，则下面结论
正确的是
(A) 是真命题 (B) 是假命题
(C) 是真命题 (D) 是假命题
(4)函数(，，)的图象如图1所示，
则下列关于函数的说法中正确的是
(A) 最小正周期是 (B) 对称轴方程是
图1
(C) (D) 对称中心是
(5)已知函数则下列图象错误的是
(A) (B) (C) (D)
(6)若实数满足约束条件，则目标函数的最小值为
(A) (B) (C) 1 (D) 2
(7) 关于直线、与平面、，有下列四个命题：
①若∥，∥且∥，则∥； ②若，且，则；
③若，∥且∥，则； ④若∥，且，则∥．
则其中真命题的是
(A) ①② (B) ③④ (C) ①④ (D) ②③
(8)已知三棱锥的三视图如图2所示，则它的外接球的体积为
(A) (B)
图2
(C) (D)
(9)过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线交双曲线于两点，左顶点M在以为直径的圆外，则该双曲线的离心率的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
(10)函数是定义域为的奇函数，且时，. 则函数的零
点个数是
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
(11) 如图3，O为的外心，为钝角，
M是边BC的中点，则=
图3
(A) (B) 36 (C) 13 (D) 16
(12)已知函数，且关于的不等式的解集为
，则实数的值是
(A) (B) (C) 6 (D)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
(13)已知，且 ，则角的值________________.
(14)已知数列满足，且，则=____.
(15)若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则弦长的最大值为_____.
(16) 已知为锐角三角形，角A, B, C的对边分别是，其中，
，则周长的取值范围为_____________________.
三、解答题：解答应写出说明，证明过程或演算步骤，本大题共5小题，60分.
(17)（本小题满分12分）
已知数列，记.
（I）若，求数列{}的通项公式；
（II）若数列是首项为，公比为的等比数列，试比较与的大小.
(18) (本小题满分12分）
某汽车厂生产A,B,C三类轿车.每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：
按轿车种类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.
（I）求的值;
（II）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中 任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率.
(19) (本小题满分12分）
如图4，是圆的直径，是圆上不同于的动点，四边形为矩形，
且，平面平面.
（I）求证：平面平面；
图4
（II）当点在上的什么位置时，四棱锥的体积为；
(III)在（II）的条件下，求以为轴旋转所围成的几何体体积.
(20)（本小题满分12分）
如图5，已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，为圆在轴上所截得的弦.
（I）当点运动时，是否有变化？并证明你的结论；
（II）当是与的等差中项时，试判断抛物线的准线与圆的位置关系，并
说明理由.
(21)（本小题满分12分）
图5
设函数(其中, 是自然对数的底数).
（I）若函数的图象在处的切线斜率相同，求实数的值；
（II）若在恒成立，求实数的取值范围.
【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图6，过外一点作的两条切线，其中为切点，为的
一条直径，连并延长交的延长线于点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若,求的值.
图6
（23）（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，以极点O为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系.
（I）求和的参数方程；
（II）已知射线, 将逆时针旋转得到, 且与
交于O、P两点，与交于O、Q两点，求取最大值时点P的极坐标.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若函数的最小值为5，求的值
第二学期校质量检查试卷解答
一.选择题:
1～5 ABADB 6～10 CDCBB CA
二.填空题:
13. ; 14. -7; 15. ; 16..
三.解答题：
17. 解: （1）依题意得:
………2分
………6分
（2）∵
………8分
当时，有 ； ………11分
当时,有 . ………12分
18.解：（1）设该厂这个月共生产轿车辆，由题意得：,
所以. ………2分
则. ………4分
（2）类轿车中有舒适型400辆，标准型600辆，从中抽取一个容量为5的样本，包括
2辆舒适型，记为A,B；3辆标准型，记为a,b,c, ………6分
从5辆轿车中任取2辆的基本事件：
（AB）, (A,a) , (A,b) , (A,c) , (B,a) , (B,b) , (B,c) , (a,b)，(a,c), (b,c), 共10种情况；……8分
至少有一辆舒适型轿车的有（AB）, (A,a) , (A,b) , (A,c) , (B,a) , (B,b) , (B,c)共7种.…10分
至少有一辆舒适型轿车的概率为………12分
19.解: (1)证明：∵平面ABCD平面ABE，又四边形ABCD为矩形, ∴DAAB,
且平面ABCD平面ABE=AB，∴DA平面ABE. 而BE平面ABE，∴DABE.……2分
又∵AB是圆O的直径， ∴AEBE. ………3分
ADAE=A，AD,AE平面ADE，∴EB平面ABE ， 又EB平面BEC
∴平面ADE平面BEC ………4分
(2) 在中,过点E作EHAB，交AB于点H, 则EH平面ABCD, ………5分
记, ∵AB=2, ∴,
.
.
由已知, ∴, 即. ………7分
∵, ∴或，即或.
于是点E在上满足或时,四棱锥的体积为. ………8分
(3)过B作CE的垂线.垂足为G,则几何体为以BG为半径,分别以GC, GE为
高的两个圆锥的组合体.
又∵在中， BG⊥CE, CE=, BE=BC=1,
∴, …………10分
当时，即 ，
……11分
当时，即 ， …………12分
20.解：（1）设，则.
圆的半径，
圆的方程为 …………2分
令，并把代入上式得：. …………3分
可取，.…………5分， 所以.
这说明不变化，其为定值. …………6分
（2）由（1），不妨设：.
由，得： …………7分
∴.到抛物线的准线的距离.…………8分
圆的半径.……10分
圆的半径.
又， 所以，即圆与抛物线的准线总相交.………12分
21.解：（I） 又代入， …………1分
∴， 得：或，…………3分
经检验:当或时，符合题意.
∴求得实数的值为或.…………4分
（II） 在恒成立，
又，在上恒成立，∴.…………6分
不等式恒成立等价于在上恒成立.
令：
∴， ∴
∵. …………8分
（I）当时， ∴在
∴在是增函数， 在是增函数，
∴与矛盾，舍去. …………9分
（II）当时，∴
，在时，，
∴与(I)同理，不合题意，舍去. …………10分
(III)当时，，
故在上是减函数，
函数是上的减函数，符合题意.
综合得:实数的取值范围为. …………12分
22.解：（Ⅰ）连接、，因为、为圆的切线，所以垂直平分
又为圆的直径，所以，所以
又为的中点，故为的中点，所以 …………5分
（Ⅱ）设，则，
在中，由射影定理可得：
，在中，， = …………10分
23.解：在直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为
所以参数方程为为参数）. …………2分
曲线的直角坐标方程为.
所以参数方程为为参数） …………4分
（2）设点P极坐标为, 即,
点Q极坐标为, 即. …………5分
则
…………8分
当时…………9分
取最大值，此时P点的极坐标为. …………10分
24.解：(I)当时，不等式可化为.
当时, 有, 解得; …………1分
当时,有,解得, 不合要求; …………2分
当时，有，解得. …………3分
综上所述，或. ∴原不等式解集为…………5分
(II) ………8分
令，解得或. …………10分
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