嘉兴一中2016年高考数学适应性练习（文科）
一、选择题（本大题共８小题，每题5分，共４0分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，，则集合中的元素个数为（ ）
A.9 B. 6 C.4 D.3
正视图
侧视图
俯视图
2．某几何体的三视图如图所示，图中的正视图、侧视图、俯视图都是边长为的正方形，两条虚线的交点为正方形的一边的中点，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C.1 D.
3.已知函数，，则的图象为（ ）
A
B
C
D
4．已知都是实数，那么“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ）
①若∥，，∥，则；②若，，∥，则∥；
③若∥，，则∥； ④若，，则．
A. ①④ B.②③ C.③④ D. ①②
6．已知函数的图象与在的交点为，过点作的垂线，直线与的图象交于点，则线段的长度（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数，以下说法正确的是（ ）
A．，函数在定义域上单调递增
B．，函数存在零点
C．，函数有最大值
D．，函数没有最小值
8．已知点是椭圆上在轴的右侧的任意一点，过点作圆的切线，切点为，为椭圆的右焦点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9．计算： ， ．
10．设全集，集合，， 则 ， ．
11. 设，为单位向量，其中，，且在上的投影为，
则 ，与的夹角为 ．
12. 设变量，满足约束条件，则的最大值为 ，最小
值为 ．
13.将函数（其中）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则 ．
14. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数
．
15. 已知直线（其中）与圆相交于、两点，为坐标原点，且，则的最小值为 .
三、解答题（本大题共5小题,共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （本题满分14分）在中，分别是三内角的对边，且
.
（1）求角的值；
（2）若，求三角形周长的最大值.
17．（本题满分15分）已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求；
（2）若，且成等比数列，当时，求．
18．（本题满分15分）如图，在△中，，分别为的中点，的延长线交于．现将△沿折起， 折成二面角，连接．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）当二面角为直二面角时，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本题满分15分）如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于两点，点的坐标为，连接，设与轴分别相交于两点．
（1）如果，且三角形的面积为4，求直线的方程；
（2）如果的斜率与的斜率的乘积为，求的长度．
20. （本题满分15分）设函数．（1）若 ， 满足，，求实数的最大值；（2）当时，恒成立，求的最小值．
嘉兴一中2016年高考数学适应性练习（文科）参考答案
一、选择题（本大题共８小题，每题5分，共４0分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，，则集合中的元素个数为（ ）
A.9 B. 6 C.4 D.3
D
提示：的数对共9对，其中满足，所以集合中的元素个数共3个．
正视图
侧视图
俯视图
2．某几何体的三视图如图所示，图中的正视图、侧视图、俯视图都是边长为的正方形，两条虚线的交点为正方形的中点，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C.1 D.
B
提示：由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱为，正四棱锥的底面边长为正方体的上底面，顶点为正方体下底面的中心，因此，该几何体的体积为
.
3.已知函数，，则的图象为（ ）
A
B
C
D
C
提示：由为偶函数，排除，当时，，排除B．
4．已知都是实数，那么“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
D
提示：因为等价于，由于正负不定，所以由不能得到；由也不能得到，因此“”是“”的既不充分也不必要条件．
5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ）
①若∥，，∥，则；②若，，∥，则∥；
③若∥，，则∥； ④若，，则．
A. ①④ B.②③ C.③④ D. ①②
A
6．已知函数的图象与在的交点为，过点作的垂线，直线与的图象交于点，则线段的长度（ ）
A. B. C. D.
A
提示：设，则，因为，所以且，因此．
7．已知函数，以下说法正确的是（ ）
A．，函数在定义域上单调递增
B．，函数存在零点
C．，函数有最大值
D．，函数没有最小值
D
8．已知点是椭圆上在轴的右侧的任意一点，过点作圆的切线，切点为，为椭圆的右焦点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
C
提示：设，由题意，因为，所以，又因为，（因为）因此.
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9．计算： ， ．
2，64.
10．设全集，集合，， 则 ， ．
，．
11. 设，为单位向量，其中，，且在上的投影为，
则 ，与的夹角为 ．
，．
提示：设与夹角为，则
，解得，所以．故填．
12. 设变量，满足约束条件，则的最大值为 ，最小
值为 ．
解：依题意，画出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数，当直线经过点时，取得最大值，即．
13.将函数（其中）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则 ．
提示：由题意，所以，因此，从而．
14. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数
．
．
提示：依题意，，，则，，
，所以，即满足的正整数．
15. 已知直线（其中）与圆相交于、两点，为坐标原点，且，则的最小值为 .
2
提示：由题意，且，所以圆心到直线的距离，得，得，由基本不等式，得
，故的最小值为2．
三、解答题（本大题共5小题,共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （本题满分14分）在中，分别是三内角的对边，且
.
（1）求角的值；
（2）若，求三角形周长的最大值.
解：（1）因为
，所以，因为是三角形的内角，所以．
（2）正弦定理得，所以，因此三角形周长，因为，所以当时，．
17．（本题满分15分）已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求；
（2）若，且成等比数列，当时，求．
解：（1）由，得
当时，，整理，
得， ，
所以，数列是首项为1，公差为3的等差数列．
因此，．
（2）是首项为1，公比为10的等比数列.，又，
．
18．（本题满分15分）如图，在△中，，分别为的中点，的延长线交于．现将△沿折起， 折成二面角，连接．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）当二面角为直二面角时，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：在，
又是的中点，得． 折起后，，，
又，，故
又所以平面．
（2）解：由（1）中知平面，过作的延长线的垂线交于点，连结，∴∥，∴∴就是直线与所成的角.设，在△中，
∴,
又，∴，
∴ ∴，
∴直线与所成的角的正弦值为．
19．（本题满分15分）如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于两点，点的坐标为，连接，设与轴分别相交于两点．
（1）如果，且三角形的面积为4，求直线的方程；
（2）如果的斜率与的斜率的乘积为，求的长度．
解：（1）直线的斜率必定存在，设为，则的方程为，因为，把代入得，则，所以，设两点的坐标分别为，则为方程的两个解，因此，所以，点到直线的距离，由三角形的面积为4得，解得，满足．
因此直线的方程为或．
（2）把直线的方程代入得，设两点的坐标分别为，则为方程的两个解，因此，，同理，因此，因为的斜率与的斜率的乘积为，所以的斜率为，从而，即为正三角形，因为为正三角形的高，且，所以．
20. （本题满分15分）设函数，（1）若 ， 满足，，求实数的最大值；（2）当时，恒成立，求的最小值．
解：（1）由及得到，即，因为，，所以，，解得，令，则，，从而，即，所以，，当时，的最大值为．
（2）方法一：当时，（1）若，，即且
，整理得，设，其中，．所以，，等号成立的条件是，即．
（2）若，即，则；
（3），即，又由题意知，所以，，解得，从而．
当时，也容易知道．
综上，当且仅当时，．
方法二：为了出现的形式，可以把原函数换一种形式，只要令对应系数成比例就会出现目标形式．
令，解得，又时，，特别地有，所以，当且仅当时成立．另一方面，时，，所以，为二次函数的对称轴，即有，且，解得．从而，当且仅当时，．
在前面的解法中，注意到，所以，等号当且仅当，即时成立，解得时，的最大值为2.
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