冀州市中学2016届仿真考试二
理科数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合，，若，则
A、 B、 C、 D、（ ）
2、设是虚数单位，则（ ）
A、 B、 C、 D、
3、某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布，则用电量在320度以上的户数估计约为（ ）
【参考数据：若随机变量服从正态分布，则，
】
A、17 B、23 C、34 D、46
4、给出下列结论：①命题“”的否定是“”；②命题“”是“”的充分不必要条件；③数列满足“”是“数列为等比数列”的充分不必要条件。其中正确的是（ ）
A、①② B、①③ C、②③ D、①②③
5、若数列{}满足－（为常数），则称数列{}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则等于（ ）
A、10 B、20 C、30 D、40
6、在边长为1的正方形中，且，
，则（ ）
A、－1 B、1 C、 D、
7、我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的等于（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
8、函数的大致图像为（ ）
9、不等式组的解集记为D，，有下面四个命题：
p1：，；p2：，；p3：，；p4：，。其中的真命题是 （ ）
A、p1，p2 B、p1，p3 C、p1，p4 D、p2，p3
10、己知抛物线方程为(),焦点为,是坐标原点, 是抛物线上的一点,与轴正方向的夹角为60°,若的面积为,则的值为（ ）
A、2或 B、 C、2 D、2或
11、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的表面积为
A、 B、 C、 D、（ ）
12、若过点与曲线相切的直线有两条,则实数a的
取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
第Ⅱ部分（非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上．
13、的展开式中项的系数等于 ．（用数字作答）
14、某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有 。（用数字作答）
15、已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足，则数列的前项的和为 。
16、已知、分别是双曲线的左右焦点,若在双曲线的右支上存在一点M ,使得 (其中O为坐标原点),且, 则双曲线离心率为 。
三、解答题：（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）
17、（本小题满分12分）
如图，在中，点在边上，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的面积为，求的长。
18、（本小题满分12分）
某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x（单位：万元）
1
2
3
4
5
销售收益y（单位：万元）
2
3
2
7
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程。
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
19、（本小题满分12分）
如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB，CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.
（Ⅰ）当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG；
（Ⅱ）当时，求二面角平面角的余弦值.
20、（本小题满分12分）
设椭圆C：的离心率，点在椭圆C上，点到椭圆C的两个焦点的距离之和是4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆的方程为，椭圆的方程为，则称椭圆是椭圆的倍相似椭
圆．已知椭圆是椭圆C的
3倍相似椭圆．若椭圆C的任意一条切线交椭圆于M,N两点，O为坐标原点，试研究当切线变化时面积的变化情况，并给予证明．
21、（本小题满分12分)
已知函数，（，）．
（Ⅰ）若函数在处的切线斜率为，求的方程；
（Ⅱ）是否存在实数,使得当时, 恒成立.若存在，求的值；若不存在，说明理由.
请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．
（Ⅰ）求证：DE2=DB•DA；
（Ⅱ）若DB=2，DF=4，试求CE的长．
23、（本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）若为上的动点，求点到直线为参数）的距离的最小值．
24、（本小题满分10分）选修：不等式选讲
已知．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若的解集包含，求实数的取值范围。
冀州市中学2016届仿真考试二
理科数学试题参考答案
一、选择题：CDBABB ADDCCB
二、填空题：13、； 14、36； 15、； 16、。
三、解答题：
17、（1）因为，所以.又因为
所以
所以.
（2）在中，由正弦定理得，
故.
又解得.
在中，由余弦定理得 所以
18、解：(Ⅰ) 设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知
，故. …………………4分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知各小组依次是，
其中点分别为，对应的频率分别为，
故可估计平均值为. ……8分
(Ⅲ) 空白栏中填5.
由题意可知，，，
，，
根据公式，可求得，，
即回归直线的方程为. ……………………………………………………12分
19、解：（1）证明：∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴EF∥BC，又∠ABC= ∴AE⊥EF，
∵ 平面AEFD⊥平面EBCF，
∴ AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
如图建立空间坐标系．
翻折前，连接AC交EF于点G，此时点G使得AG+GC最小．
EG=BC=2，又∵EA=EB=2．
则
∴,，∴，
∴.
（2）设，∵AD∥平面EFCB，∴点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离．∵,∴
∴
又∵, ∴ ∴即EG=1.
设平面DBG的法向量为，∵，∴，，
则 ，即 ，取，则，∴.
平面BCG的一个法向量为，
则，∵所求二面角的平面角为锐角，∴此二面角平面角的余弦值为.
20、解：（Ⅰ）依题意，，
∴椭圆C方程为：． ……………3分
（Ⅱ）依题意，椭圆C2方程为：． ……………4分
当切线l的斜率存在时，设l的方程为：．
由得，由得．…6分
由得，由得．
设，则
…………7分
．
又点O到直线l的距离，∴． …………10分
当切线l的斜率不存在时，l的方程为，．…………11分
综上，当切线l变化时，面积为定值． …………12分
21、解：（Ⅰ）因为，，……………………………2分
所以，解得或（舍去）. ………………………………………3分
因为，所以，切点为，
所以的方程为.………………………5分
（Ⅱ）由得，，，
又，所以，.…………………………2分
令（），则，
所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值.…………………………9分
故只需（*）.令（），则，
所以当时，，单调递增，所以.…………11分
故不等式（*）无解.
综上述，不存在实数,使得当时, 恒成立. …………12分
22、解：（Ⅰ）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA． ……………… 5分
（Ⅱ）解：DF2=DB•DA，DB=2，DF=4． DA= 8， 从而AB=6， 则．
又由（1）可知，DE=DF=4， BE=2，OE=1．
从而 在中，． ………………10分
23、解：(Ⅰ)由得，所以，
故曲线的直角坐标方程为，即，……3分
由消去参数得的普通方程为. ………………5分
(Ⅱ)设，直线的普通方程为，故点到直线的距离为
（其中），
因此，故点到直线的距离的最小值0． ………………10分
24、解：(Ⅰ) 当时，不等式化为，
当时，，无解；
当时，，解得，又，
所以；
当时，，恒成立，又，所以．
因此，当时，解不等式的解集为．………………5分
(Ⅱ) ．
当时，，即，
所以或，
因为的解集包含，于是或，
故或．所以，实数的取值范围为．……10分
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