连城一中2016届数学（文）模拟试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
锥体体积公式：
，其中为底面面积，为高
球的表面积、体积公式
，其中为球的半径
参考公式：
样本数据，，，的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式其中为底面面积，为高
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求).
1．设集合0)在同一周期内,当x=时,ymax=2;
当x=时，,ymin=-2.那么函数的解析式为 ( )
A．y=2sin(2x+) B． y=2sin(-) C．y=2sin(2x+) D．y=2sin(2x-)
8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步
不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了天后到达目的地”．则该人最后一天走的路程为（ ）.
A．里 B．里 C．里. D．里
9．已知点A，B为椭圆的左、右顶点，点C，D为椭圆的上、下顶点，点F为椭圆的右焦点，若CFBD，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10． 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．29 C．37 D．49
11．正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A B1DC1的体积为( )
A．3 B． C．1 D．
12已知抛物线，点A（1，0）B（-1，0），点M在抛物线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分).
13.若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝
则＋＝______．
14.已知>0）的部分图像如图所示，且
，则的值是
15.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=____
16.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:
①给定向量,总存在向量,使;
②给定向量和,总存在实数和,使;
③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;
④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;
上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.设为数列{}的前项和,已知2,N
(Ⅰ)求数列{}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和.
18.学校为了解学生的数学学习情况，在全校高一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢数学
不喜欢数学
合计
男生
60
20
80
女生
10
10
20
合计
70
30
100
(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“男生和女生在喜欢数学方面有差异”；
(2)在被调查的女生中抽出5名，其中2名喜欢数学，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢数学的概率．
其不意附：χ2＝，
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
19.如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;
(Ⅱ)若G是PC的中点,求证PA‖面BDG;
(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求 的值.
21.已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ) 过点F作直线交抛物线C于A.B两点.若直线AO.BO分别交直线l:y=x-2于M.N两点,
求|MN|的最小值.
21. （本小题满分分）已知函数R(Ⅰ)当时,求函数的单调区间；
(Ⅱ)若且时,,求的取值范围.
（23）（本小题满分10分）选修4－4: 坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数.以点为极
点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)将曲线和直线化为直角坐标方程；
(Ⅱ)设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.
连城一中2016届数学（文）试卷
参考答案
1-12：CBACBDACCACA 13. 14. 15. 16.2
17．解: (Ⅰ) ………………………1分
………………………4分
………………………6分
(Ⅱ)
………………………8分
上式左右错位相减:
…
…………10分
. ………………………12分
18．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝＝≈4.762. ………………………4分
由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“男生和女生在喜欢数学方面有差异” ………………6分
(2)从5名女生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，
其中ai表示喜欢数学的学生，i＝1，2，bj表示不喜欢数学的学生，j＝1，2，3.
Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．………………………9分
用A表示“3人中至多有1人喜欢数学”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．
事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.………………………12分
19． 解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30°,
且,
所以,又因为; ………………………4分
(Ⅱ)设,由(1)知 O为AC中点，则OG‖PA，
又PA面BDG，OG面BDG PA‖面BDG ………………………8分
(Ⅲ)由已知得到:,因为,
在中,,设
………………12分
20． 解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:,且,
所以抛物线方程是: ; ………………………4分
(Ⅱ)设,所以所以的方程是:,
由,同理由
所以①…………6分
设,由,
且, ………………………8分
代入①得到: , ………………………9分
设,
① 当时
,所以此时的最小值是; ………10分
② 当时,
,………11分
所以此时的最小值是,此时,;
综上所述:的最小值是; ………………………12分
21. (Ⅰ)解:∵当时,, ∴.…1分
令,得. ………………………2分
当时, ; 当时, . ………………3分
∴函数的单调递减区间为,递增区间为.……4分
(Ⅱ)解法1:当时,等价于,即.(*)
令,则, ………5分
∴函数在上单调递增. ∴.……6分
要使(*)成立,则, 得.……………………………………………7分
下面证明若时,对,也成立.
当时,等价于,即.
而.(**) ………………………………………8分
令,则,
再令,则.
由于,则,,故. ……………………9分
∴函数在上单调递减. ∴ ,即.…10分
∴ 函数在上单调递增. ∴ . …11分
由(**)式. 综上所述,所求的取值范围为
.……12分
解法2: 等价于,即.(*)[来源:学#科#网]
令 …………………………………5分
当时,,则.
∴函数在区间上单调递减. ∴.……………6分
当时,,则.
∴函数在区间上单调递增. ∴.………7分
下面证明,当时, (*)式成立:
① 当时,, (*)式成立. ……………………………………8分
② 当时,由于,令,
则,
再令,则.
由于,则,,故.……………………9分
∴ 函数在上单调递减.
∴ ,即.
∴ 函数在上单调递增. ∴ .……………10
分
∴ . ………………………………………………11分
∴ ,即(*)式成立.综上所述, 所求的取值范围为. …12分
（23）(Ⅰ)解：由得， ∴曲线的直角坐标方程为…2分
由，得，……………3分
化简得，， …………………………………4分
∴. ∴直线的直角坐标方程为.…………………5分
(Ⅱ)解法1：由于点是曲线上的点，则可设点的坐标为， …6分
点到直线的距离为 …………………………7分
.…………………………………8分
当时，. …………………………………9分
∴ 点到直线的距离的最大值为. …………………………………10分
解法2：设与直线平行的直线的方程为，
由消去得， ………………………6分
令， …………………………………7分
解得. …………………………………8分
∴直线的方程为，即.
∴两条平行直线与之间的距离为.………………………9分
∴点到直线的距离的最大值为. …………………………………10分
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