www.ks5u.com
2015—2016学年高三数学(理)模拟试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
2．复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3.等差数列的前项和，若，则( )
4．已知满足约束条件，则的最大值是（ ）
（A）0 （B）2 （C）4 （D）6
5．已知圆：上到直线的距离等于1的点至少有2个，则的取值范围为（ ）
A． B．
第８题
C． D．
6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）种.
A．12 B．24 C.48 D.120
7．已知向量与向量共线，其中是的内角，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）
A．1007 B．2015 C．2016 D．3024
第９题
第10题
9．设，函数的图象向左平移个单位后，
得到下面的图像，则的值为（ ）
A． B．
C． D.
10．已知一个几何体的三视图如右图所示，
则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
11．已知双曲线的左、右两个焦点分别为为其左、右顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且,则双曲线的离心率为（ ）
A. B . C. D.
12．已知数列满足：．若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知，则二项式的展开式中的系数为 ．
14．已知向量，向量．若向量在向量方向上的投影为3，则实数＝ ．
15．已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长为2，侧面积为，则其外接球的体积为_____
16.已知函数 若方程恰有一个解时，则实数的取值范围 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）如图所示，在四边形中， =，且，，．（Ⅰ）求△的面积；
（Ⅱ）若，求的长．
18．（12分）某校数学组推出微信订阅号（公众号hl15645101785）后，受到家长和学生们的关注，为了更好的为学生和家长提供帮助，我们在某时间段在线调查了60位更关注栏目1或栏目2（2选一）的群体身份样本得到如下列联表，已知在样本中关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，在关注栏目2中的家长与学生人数比为1:3
栏目1
栏目2
合计
家长
学生
合计
（Ⅰ）完成列联表，并根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”；
（Ⅱ）如果把样本频率视为概率，随机回访两位关注者，更关注栏目1的人数记为随机变量，求的分布列和期望；
（Ⅲ）由调查样本对两个栏目的关注度，请你为数学组教师提供建议应该更侧重充实哪个栏目的内容，并简要说明理由．
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（，其中.）
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．
20. （12分）已知椭圆过点，且长轴长等于4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线与圆
相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.
21．（本小题满分12分）
设函数，其中．
（Ⅰ）讨论极值点的个数；
（Ⅱ）设，函数，若，（）满足且，证明：．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答.答题时请写清题号并将相应信息点涂黑.
22．（10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的值.
23．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线，
曲线，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于两点，与曲线交于两点，且最大值为
（1）将曲线与曲线化成极坐标方程，并求的值；
（2）射线与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的最大值．
24．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围.
2015—2016学年高三数学(理)试卷参考答案
一．选择题：1-5 ＤＡＣＤＡ 6-10 ＢＣＤＤＡ 11-12 ＢＣ
二．填空题：
13． 14． 15． 16.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17． 解：（Ⅰ） ………………………2分
因为，所以，…………………………4分
所以△ACD的面积．………………6分
（Ⅱ）解法一：在△ACD中，，
所以．……………………………………………………8分
在△ABC中，……………10分
把已知条件代入并化简得：因为，所以 ……12分
解法二：在△ACD中，在△ACD中，，
所以．…………………………………………………………8分
因为，，所以 ，………10分
得．…………………………………………………………………………12分
18．（1）因为样本容量60，关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，所以，列联表如图
栏目1
栏目2
合计
家长
25
5
30
学生
15
15
30
合计
40
20
60
，所以能有99%的把握认为认为“更关注栏目1
或栏目2与群体身份有关系”。 ……5分
（2）的取值为0,1,2，由题意，，
所以，，，分布列如下
0
1
2
期望 ……10分
（3）关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，关注栏目1的人数多，所以应该充实栏目1的内容……12分
19． 解（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．………………1分
则BC=AC=2，A1O==，
易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），
A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），……………2分
=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），
=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），……………………4分
∵=0，∴A1D⊥OA1，又∵=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；……………………6分
（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），
由，得，取z=1，得=（，0，1），…7分
设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），
由，得，取z=1，得=（0，，1），8分
∴cos＜，＞===，………10分 又∵该二面角为钝角，…11
分∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．…………… 12分
20. 解：（1）由题意，椭圆的长轴长，得，
因为点在椭圆上，所以得，
所以椭圆的方程为.…………（4分）
（2）由直线l与圆O相切，得，即，…………（5分）
设，由消去y，整理得
由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以.…………（7分）
…………（9分）
所以
因为，所以.
又因为，所以，，得k的值为.………（12分）
21． （1）函数的定义域为，．…1分
令． ①当时，，，所以，
函数在上单调递增，无极值；2分
②当时，在上单调递增，在上单调递减，且，所以，在上有唯一零点，从而函数在上有唯一极值点；…………3分
③当时，若，即时，则在上恒成立，
从而在上恒成立，函数在上单调递增，无极值；…………4分
若，即，由于，则在上有两个零点，从而函数在上有两个极值点．………………5分
综上所述：
当时，函数在上有唯一极值点；
当时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有两个极值点．………………6分
（2），．假设结论不成立，则有…………7分
由①，得，∴，……8分
由③，得，∴，即 即．④…9分令，不妨设，（），……10分
则，………11分 ∴在上增函数，，
∴④式不成立，与假设矛盾． ∴．………………12分
22解：（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，
∴EA为圆D的切线 ……………………………（1分）
依据切割线定理得 ……………（2分）
另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线， （3分）
同样依据切割线定理得…………… 4分）
故………………………………………（5分）
（Ⅱ）连结，∵BC为圆O直径，∴ ………（6分）
由得 （8分）
又在中，由射影定理得………（10分）
23．（1），
=， ，
……5分
（2）
当时，面积的最大值为 ……10分
24解：（Ⅰ）－2 当时，, 即，∴；…（1分）
当时，,即,∴ …………………………（2分）
当时，, 即, ∴16 ………………………………（3分）
综上，解集为{|6} …………………………………………………（4分）
（Ⅱ） ，……………………………………（5分）
令，表示直线的纵截距，当直线过点时，；
∴当2，即－2时成立；…（7分）
当，即时，令， 得,
∴2+，即4时成立，……（9分）
综上－2或4 …（10分）
微信/支付宝扫码支付