福建省厦门外国语学校2016届高三5月适应性考试数学（文）试题 Word版含答案.doc

厦门外国语学校2016届高三适应性考试 数学（文科） 2016.5‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.复数(其中为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.“为真”是“为假”的（ ）条件 ‎ A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要 ‎4．如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是大正方形 的一条边，Pi(i＝1，2，…，7)是小正方形的其余顶点，‎ 则·(i＝1，2，…，7)的不同值的个数为(　　)‎ ‎ A．7 B．‎5 ‎ C．3 D．1‎ ‎5．将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位 长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．在中，角，，的对边分别为，，，且满足 ,则角等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎开始 输出 结束 是 （第7题）‎ 否 ‎8. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )‎ A． B. C. D. ‎ ‎9．我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“ 远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”. 诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有（ ）盏灯. ‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 5 D． 6‎ ‎10.设,分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11．在三棱锥中，，中点为，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12已知方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13某单位有名职工，现采用系统抽样方法抽取人做问卷调查，将人按，‎ ‎…随机编号，则抽取的21人中，编号落入区间的人数为 .‎ ‎14在中，，是边的中点，则 .‎ ‎15不等式组所表示的平面区域为，若直线与有公共点，则实数的取值范围是 .‎ ‎16在中，角所对的边分别为,，则 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17(本小题满分12分)‎ 已知递增等差数列的前项和为，，且成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 周立波主持的《壹周·立波秀》节目以其独特的视角和犀利的语言，给观众留下了深刻的印象．央视鸡年春晚组为了了解观众对《壹周·立波秀》节目的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下2×2的列联表：（单位：名）‎ 男 女 总计 喜爱 ‎40‎ ‎60‎ ‎100‎ 不喜爱 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 总计 ‎60‎ ‎80‎ ‎140‎ ‎（Ⅰ）从这60名男观众中按对《壹周·立波秀》节目是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？‎ ‎（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱《壹周·立波秀》节目有关．（精确到0.001）‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱《壹周·立波秀》节目的概率．‎ 附：临界值表 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.705‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 参考公式：，.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图：将直角三角形，绕直角边旋转构成圆锥，四边形是圆的内接矩形，是母线的中点，.‎ ‎（I）求证：面；‎ ‎（II）当时，求点到平面的距离.‎ ‎20已知定点，定直线， 是上任意一点， 过作，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线，将曲线沿轴向左平移个单位，得到曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点互相垂直的两条直线与曲线分别相交于和，‎ 求的最小值.‎ ‎21(本小题满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，证明：．‎ 请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 第22题图 如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求的长．‎ ‎23（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线：交于，两点.‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为 ‎，求点到线段中点的距离.‎ ‎24本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.‎ ‎（Ⅰ）设函数.证明：；‎ ‎（Ⅱ）若实数满足,求证: ．‎ 厦门外国语学校2016届高三适应性考试 数学（文科）参考答案 2016.5‎ ‎（1）C （2）A （3）B （4）C （5）B （6）A ‎（7）B （8）C （9）B （10）B （11）C （12）A ‎（13）； （14）； （15）； （16）．‎ ‎17（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为,‎ ‎∴∵成等比数列,‎ ‎∴，即解得或 . 5分 ‎∵等差数列是递增数列，∴，∴. 7分 ‎（Ⅱ）∵ 8分[‎ ‎ 10分 ‎∴ . 12分 ‎18.解：（Ⅰ）抽样比为，则样本中喜爱的观众有40×=4名；不喜爱的观众有6﹣4=2名． …………………3分 ‎（Ⅱ）假设：观众性别与喜爱《壹周·立波秀》节目无关，由已知数据可求得，]‎ ‎∴ 不能在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为观众性别与喜爱《壹周·立波秀》节目有关． …………………………………………………………………………………… 8分 ‎（Ⅲ）设喜爱《壹周·立波秀》节目的4名男性观众为a，b，c，d，‎ 不喜爱《壹周·立波秀》节目的2名男性观众为1，2；‎ 则基本事件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b， 2），（c，d），（c，1），（c，2），（d， 1），（d，2），（1，2）．‎ 其中选到的两名观众都喜爱《壹周·立波秀》节目的事件有6个，‎ 故其概率为P（A）= …………… 12分 ‎19.解：(Ⅰ)连接 ,连接.‎ 因为四边形是圆的内接矩形，‎ ‎∴，且的中点.‎ 又∵∴‎ 又 ‎∴面 …………………………… 6分 ‎（Ⅱ）设点到平面的距离为d，由题设，⊿PAC是边长为4的等边三角形 ‎∴CM= 又∵AD=‎ ‎∴⊿CDM≌⊿AMD ‎ ‎∴ ‎ 又∵‎ ‎∴由得=‎ ‎∴d=‎ ‎∴点到平面的距离为． ………………………………………… 12分 ‎20解答：（Ⅰ）线段的垂直平分线交于点，所以，由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线的方程为，所以曲线的方程为，‎ 设直线的方程为，则直线的方程为，‎ 设，‎ 由，得，所以 同理可得，‎ 所以，等号当且仅当即时成立.‎ 所以的最小值为.‎ ‎21解：（Ⅰ）∵. 1分 ‎（i）当时，,‎ ‎∴的递增区间是，无递减区间；无极值. 3分 ‎（ii）当时，由得，；由得，；‎ ‎∴的递减区间是，递増区间是，‎ 的极小值为，无极大值. 5分 ‎（Ⅱ）由已知，结合（Ⅰ）可知，,在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，时，. …………………………………………6分 不妨设，‎ 此时，，‎ 故要证，只要证，‎ 只要证，‎ 因，即证. 8分 设,‎ ‎， 9分 ‎∴当时，，在上单调递减, 10分 ‎∴时，, 11分 故当时，，即成立,‎ ‎∴. 12分 ‎23解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），‎ 代入曲线C的方程得．‎ 设点A，B对应的参数分别为，则，，‎ 所以．……………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为，‎ 所以点P在直线l上，中点M对应参数为，‎ 由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离．……(10分）‎ ‎24证明:(Ⅰ)由，‎ 有，所以 (Ⅱ),由柯西不等式得:‎ ‎(当且仅当即时取“”号)整理得:,‎ 即 …………………………………………………………10分