厦门外国语学校2016届高三适应性考试
理科数学试题 2016-5
(时间：120 分钟；满分：150分)
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数 的共轭复数为 （ ）
A． B． C． D．
2. 设非空集合满足，则 （ ）
A．，有 B．，有
C．，使得 D．，使得
3.已知命题，命题，则是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知公差不为0的等差数列满足 ，为数列的前项和，则的值为
A. B. C. 2 D. 3 （ ）
5．已知双曲线，点，为其两个焦点，点P为双曲线上一点．若，则 的值为 ( )
A．2 B． C． D．
6．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 （ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
7．已知函数在处取得最大值，则函数的图象 （ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
8. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照像留念，已知甲、乙不相邻，则甲、丁相邻的概率为 （ ）
A． B． C． D．
9. 不等式组所表示的平面区域为，若直线与有公共点，则实数的
取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
10.已知方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是 ( )
A B C D
11．某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边
三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12. 已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，
若满足，则下列一定成立的是 （ ）。
A. B. 其中是抛物线过的切线
C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知， ，则 ．
14. 已知正实数，若，其中180，
则值为
15.设平面向量满足且， 的最大值为 .
16. 已知数列满足，则该数列的前12项和为
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知△的面积为，且, .
(Ⅰ) 若 的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为2，
且，求△的面积；
（Ⅱ）求的最大值．
18. （本小题满分12分）
私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）
[15，25)
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65)
[65，75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
（Ⅰ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，
点为线段的中点，点在线段上．
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）设平面与平面所成二面角的平面角为，
试确定点的位置，使得．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆：的左焦点与上顶点关于直线对称，又点在上
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，试证点总在
定圆上．
21. （本小题满分12分）
已知函数，（为常数）.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
(Ⅱ) 若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，，求证：.
23.已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.
（I）求实数和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求的值；
24. 已知函数．
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．
厦门外国语学校2016届高三适应性考试
条 码 粘 贴 处
（正面朝上贴在此虚线框内）
理科数学 答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记 ！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
注意事项
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
１、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
２、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
３、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
４、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
5、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
6、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
7、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
8、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
9、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
11、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
12、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（请在横线上作答）
13、 14、
15、 16、
三、解答题（请在指定区域内作答）
17、
18、
19、
20、
21、
22、
D
A
C
B
O
E
F
M
理数参考答案
一．选择题：
ABBCC BAABA DB
11. 提示：设外接球的球心，分别是的外心，
平面，平面，则，
解得，故 选
12. 提示：
。
二．填空题：
13． 14. 2 15.. 16. 147
三．解答题：
17．解：（Ⅰ）∵的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为T，
，即：，解得，，，
即：， B是△ABC的内角，，
又， 设△ABC的三个内角的对边分别为，
， ， 从而△ABC是直角三角形，
由已知得，，从而， .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
设△ABC的外接圆半径为，则 解得
所以
故当时，最大值为
18. 解：（Ⅰ） 由表知年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35) 内的有10人，
不赞成 的有4人，恰有2人不赞成的概率为：
（Ⅱ）的所有可能取值为：0,1,2,3
所以的分布列是：
所以的数学期望．
19．解：（Ⅰ）在中，，
∵为的中点， ∴平分，,
∴在中，，
过作于，则，连结，
∵，∴四边形是矩形，
∴，又，，∴平面，
又平面，∴．
（Ⅱ）∵，，∴，又，∴平面，
又平面，∴平面平面．
过作交于点，则由平面平面知，平面，
故两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，又知为的中点，
，设，则，， ，．
设平面的法向量为，
则 ∴
取，可求得平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则 所以取．
∴，解得
∴当时满足．
20.解：（Ⅰ）左焦点，上顶点 关于直线对称 得，
P代入椭圆得， 又， 联立解得：，，
故椭圆的标准方程为：
(Ⅱ) （i）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，
联立直线和椭圆的方程，得，
消去并整理，得，
因为直线和椭圆有且仅有一个交点，，
化简并整理，得．
因为直线与垂直，所以直线的方程为：，
联立 解得
，
把代入上式得． ①
（ii）当切线的斜率为时，此时，符合①式．
（iii）当切线的斜率不存在时，此时 或，符合①式．
综上所述，点总在定圆上．
21. 解：（Ⅰ）当时，，，得.
由，解得，即在上单调递增；
由，解得，即在上单调递减.
∴综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(Ⅱ) 已知，于是变形为，
从而，即，整理得.
令，则，即在上是减函数，
∴，令，则，
当时，， 即此时单调递增；
当时，， 即此时单调递减，
而，∴，∴.
（Ⅲ）由（1）知，当时，在上是增函数，
∵，∴，
即，同理，
，
又因为，当且仅当时，取等号，，，，
∴，∴，∴.
23.解：(I) 因为曲线： 左焦点为 ，代入直线得
(Ⅱ)直线的参数方程是（ 为参数）代入椭圆方程得
则
又, 故＝
24.解：（Ⅰ）由条件得 得 所以
（Ⅱ）原不等式等价于，而
所以 则 当且仅当时取得。
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