银川一中2016届高三数学四模试卷(理有答案)
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资料简介
绝密★启用前 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 ‎(银川一中第四次模拟考试)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第22~24题为选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。‎ ‎2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。‎ ‎4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。‎ ‎5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。‎ 第I卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={x|x2﹣16<0},B={﹣5,0,1},则 A.A∩B=∅ B.B⊆A C.A∩B={0,1} D.A⊆B ‎2.已知复数(为虚数单位),则在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.某城市对机动车单双号限行进行了调查,在参加调查的2548名有车人中有1560名持反对意见,2452名无车人中有1200名持反对意见,在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否有关系时,用什么方法最有说服力 开始 输入a,b,c 输出a,b,c 结束 A.平均数与方差 B.回归直线方程 ‎ C.独立性检验 D.概率 ‎4.已知tan(π﹣α)=﹣2,则 A.﹣3 B. ‎ C.3 D.‎ ‎5.阅读右边的程序框图,若输入的a、b、c分别是1、2、3,‎ 则输出的a、b、c分别是( )‎ A.3、1、2 ‎ B.1、2、3 ‎ C.2、1、3 ‎ D.3、2、1 ‎ ‎6.在△ABC中,sinA=,,则△ABC的面积为 A.3 B. C.6 D.4‎ ‎7.一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,1),(1,0,0),(2,2,0),(2,0,0),画该三棱锥三视图的俯视图时,从轴的正方向向负方向看为正视方向,从轴的正方向向负方向看为俯视方向,以平面为投影面,则得到俯视图可以为 ‎8.已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆C:(x+2)2+(y﹣4)2=1上任意一点,则|PQ|+x的最小值为 A.5 B.‎4 ‎‎ ‎C.3 D.2‎ ‎9.已知实数x,y满足,若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为 A.4 B.‎3 ‎‎ ‎C.2 D.‎ ‎10.已知函数的图象如图所示,则该函数的解析式可能是 A. ‎ B.‎ C. ‎ D.‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别F1(﹣c,0),F2(c,0),若双曲线上存在点P,使得c·sin∠PF‎1F2=a·sin∠PF‎2F1≠0,则该曲线的离心率e的取值范围是 A.(1,) B.(1,] C.(1,] D. (1,)‎ ‎12.若函数f(x)为定义在R上的奇函数,其导函数为f′(x),对任意实数x满足,则不等式的解集是 A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 .‎ 理科数学试卷 第3页(共6页)     理科数学试卷 第4页(共6页)‎ ‎14.有一球内接圆锥,底面圆周和顶点均在球面上,其底面积为3,已知球的半径R=2,则此圆锥的体积为____.‎ ‎15.已知三角形ABC中,三边长分别是a,b,c,面积S=a2﹣(b﹣c)2,b+c=8,则S的最大值是   .‎ ‎16.已知,‎ 则 .‎ 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知数列是等差数列,且 ‎(1)求{an}的通项公式 ‎(2)若,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎2016年,百年名校银川一中即将迎来110周年校庆。为了了解在校同学们对一中的看法,学校进行了调查,从三个年级任选三个班,同学们对一中的看法情况如下:‎ 对一中的 看 法 非常好,一中奠定了 我一生成长的起点 很好,我的中学很快乐很充实 A班人数 比 例 B班人数 比 例 C班人数 比 例 ‎(1)从这三个班中各选一个同学,求恰好有2人认为一中“非常好”的概率(用比例作为相应概率);‎ ‎(2)若在B班按所持态度分层抽样,抽取9人,在这9人中任意选取3人,认为一中“非常好”的人数记为,求的分布列和数学期望.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ N A D M B E C 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60º,AD=2,AM=1,E是AB的中点. ‎ ‎(1)求证:AN∥/平面MEC; ‎ ‎(2)在线段AM上是否存在点P,使二面角P-EC-D 的大小为?若存在,求出AP的长h;若不存在,‎ 请说明理由.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C:(a>b>0)经过(1,1)与()两点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点,椭圆C 上一点M满足|MA|=|MB|.求证:‎ 为定值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)=lnx.‎ ‎(1)求函数g(x)=f(x+1)﹣x的最大值;‎ ‎(2)若对任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)若x1>x2>0,求证:.‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图所示,点P是圆O直径AB延长线上的一点,‎ PC切圆O于点C,直线PQ平分∠APC,分别交AC、‎ BC于点M、N。‎ 求证:(1)△CMN为等腰三角形; ‎ ‎(2)PB·CM=PC·BN.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知三点.‎ ‎(1)求经过的圆的极坐标方程;‎ ‎(2)以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆的参数方程为(为参数),若圆与圆外切,求实数的值.‎ ‎24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 ‎ 已知,不等式<4的解集为M。‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)若不等式有解,求的取值范围。‎ 银川一中2016届高三第四次模拟考试数学(理科)参考答案 ‎1.C ‎【解答】解:A={x|x2﹣16<0}={x|﹣4<x<4},B={﹣5,0,1},则A∩B={0,1},故选:C ‎2.B 考查复数的相关知识。,实部、虚部均小于0,所以的共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限。‎ ‎3.C ‎ 解答: 解:在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见,2452名女性中有1200名持反对意见,‎ 可得:K2==83.88>10.828,‎ 故有理由认为性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系,故利用独立性检验的方法最有说服力.故选:C.‎ ‎4.D 解答: 解:∵tan(π﹣α)=﹣tanα=﹣2,∴tanα=2,‎ ‎∴====﹣,故选:D.‎ ‎5.A ‎6.D ‎【解答】解:由题意可得•=||•|•cosA=6,‎ 又sinA=,故可得cosA=,故||•|=10,‎ 故△ABC的面积S=||•|•sinA=×10×=4.故选D.‎ ‎7.D ‎8.C ‎【解答】解:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l:x=﹣1‎ 圆C:(x+2)2+(y﹣4)2=1的圆心C(﹣2,4),半径r=1,‎ 由抛物线定义知:点P到直线l:x=﹣1距离d=|PF|,点P到y轴的距离为x=d﹣1,‎ ‎∴当C、P、F三点共线时,|PQ|+d取最小值,∴(|PQ|+x)min=|FC|﹣r﹣1=5﹣1﹣1=3‎ 故选:C.‎ ‎9.C ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线的截距最大,‎ 此时z最大,由,解得即A(4﹣m,m),‎ 此时z=2×(4﹣m)+m=8﹣m,当直线y=﹣2x+z经过点B时,直线的截距最小,‎ 此时z最小,由,解得,‎ 即B(m﹣1,m),此时z=2×(m﹣1)+m=‎3m﹣2,∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2,‎ ‎∴8﹣m﹣‎3m+2=2,即m=2.故选:C.‎ ‎10.B 解:由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可得0<A<1,T=>2π,‎ 求得0<ω<1.再根据f(2π)<0,结合所给的选项,故选:B.‎ ‎11.D 解:不妨设P(x,y)在右支曲线上,此时x≥a,由正弦定理得,所以=,‎ ‎∵双曲线第二定义得:|PF1|=a+ex,|PF2|=ex﹣a,∴=⇒x=≥a,‎ 分子分母同时除以a,得:≥a,∴≥1解得1≤e≤+1,‎ 故答案为:D(1,+1).‎ ‎12.C ‎【解答】解:由题意可得函数g(x)=x‎2f(x)为R上的奇函数,‎ ‎∵x‎2f′(x)>2xf(﹣x),∴x‎2f′(x)+2xf(x)>0,‎ ‎∴g′(x)=x‎2f(x)=2xf(x)+x‎2f′(x)>0,∴奇函数g(x)=x‎2f(x)在R上单调递增,‎ ‎∴不等式g(x)<g(1﹣3x)可化为x<1﹣3x,解得x<‎ 故选:C ‎13.‎ ‎【解答】解:由题意可得所求封闭图形的面积 S=+=x3+(2x﹣x2)=(13﹣03)+(2×2﹣×22)﹣(2×1﹣×12)‎ ‎=+2﹣= 故答案为:‎ ‎14.‎ ‎15.‎ 解:∵a2=b2+c2﹣2bccosA,即a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA,S△ABC=bcsinA,‎ ‎∴分别代入已知等式得: bcsinA=2bc﹣2bccosA,即sinA=4﹣4cosA,‎ 代入sin‎2A+cos‎2A=1得:cosA=,∴sinA=,∵b+c=8,∴c=8﹣b,‎ ‎∴S△ABC=bcsinA=bc=b(8﹣b)≤•()2=,当且仅当b=8﹣b,即b=4时取等号,则△ABC面积S的最大值为.故答案为:.‎ ‎16.‎ 解:.对等式两边求导得 ‎.继续对此等式两边求导,得 ‎.令得 ‎)‎ ‎.‎ ‎17.‎ ‎【解答】解:(1)由于为等差数列,若设其公差为d,则,‎ ‎∴,,解得,‎ 于是=2+3(n﹣1),整理得an=.‎ ‎(2)由(1)得bn=anan+1==,‎ ‎∴.‎ ‎18.【解析】(1)记这3位同学恰好有2人认为一中“非常好”的事件为A,则.(5分)‎ ‎(2)在B班按照相应比例选取9人,则认为一中“非常好”的应该选取6人,认为一中“很好”的应选取3人,则,‎ 且;;‎ ‎;.‎ 则的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则的期望值为:(人).(12分)‎ ‎19.(I)CM与BN交于F,连接EF.由已知可得四边形BCNM是平行四边形,所以F是BN的中点.因为E是AB的中点,所以AN∥EF. 又EF⊂平面MEC,AN⊄平面MEC,‎ 所以AN∥平面MEC. ‎ ‎(II)由于四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,可得DE⊥AB.又四边形ADNM是矩形,面ADNM⊥面ABCD,∴DN⊥面ABCD,如图建立空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),E(,0,0),‎ C(0,2,0),P(,-1,h),=(,-2,0),=(0,-1,h),‎ 设平面PEC的法向量为=(x,y,z).则,∴, 令y=h,∴=(2h,h,),又平面ADE的法向量=(0,0,1), ∴cos<,>==,解得h=, ∴在线段AM上是否存在点P,当h=时使二面角P-EC-D的大小为.‎ ‎20.‎ ‎【分析】(I)把(1,1)与(,)两点代入椭圆方程解出即可.‎ ‎(II)由|MA|=|MB|,知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A、B关于原点对称.‎ ‎①若点A、B是椭圆的短轴顶点,则点M是椭圆的一个长轴顶点;同理,若点A、B是椭圆的长轴顶点,则点M在椭圆的一个短轴顶点;直接代入计算即可.‎ ‎②若点A、B、M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为y=kx(k≠0),则直线OM的方程为,设A(x1,y1),B(x2,y2),与椭圆的方程联立解出坐标,即可得到=,同理,代入要求的式子即可.‎ ‎【解答】解析(Ⅰ)将(1,1)与(,)两点代入椭圆C的方程,‎ 得解得.‎ ‎∴椭圆PM2的方程为.‎ ‎(Ⅱ)由|MA|=|MB|,知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A、B关于原点对称.‎ ‎①若点A、B是椭圆的短轴顶点,则点M是椭圆的一个长轴顶点,此时 ‎=.‎ 同理,若点A、B是椭圆的长轴顶点,则点M在椭圆的一个短轴顶点,此时 ‎=.‎ ‎②若点A、B、M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为y=kx(k≠0),‎ 则直线OM的方程为,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由解得,,‎ ‎∴=,同理,‎ 所以=2×+=2,‎ 故=2为定值.‎ ‎21.‎ ‎【分析】(1)先求出g(x)=ln(x﹣1)﹣x(x>﹣1),然后求导确定单调区间,极值,最值即可求.‎ ‎(2)本小题转化为在x>0上恒成立,进一步转化为,然后构造函数h(x)=,利用导数研究出h(x)的最大值,再利用基础不等式可知,从而可知a的取值范围.‎ ‎(3)本小题等价于.令t=,设u(t)=lnt﹣,t>1,由导数性质求出u(t)>u(1)=0,由此能够证明>.‎ ‎【解答】解:(1)∵f(x)=lnx,‎ ‎∴g(x)=f(x+1)﹣x=ln(x+1)﹣x,x>﹣1,‎ ‎∴.‎ 当x∈(﹣1,0)时,g′(x)>0,∴g(x)在(﹣1,0)上单调递增;‎ 当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,则g(x)在(0,+∞)上单调递减,‎ ‎∴g(x)在x=0处取得最大值g(0)=0.‎ ‎(2)∵对任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,‎ ‎∴在x>0上恒成立,进一步转化为,‎ 设h(x)=,则,当x∈(1,e)时,h′(x)>0;当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x).要使f(x)≤ax恒成立,必须a.另一方面,当x>0时,x+,‎ 要使ax≤x2+1恒成立,必须a≤2,∴满足条件的a的取值范围是[,2].‎ ‎(3)当x1>x2>0时,>等价于.‎ 令t=,设u(t)=lnt﹣,t>1则>0,‎ ‎∴u(t)在(1,+∞)上单调递增,∴u(t)>u(1)=0,∴>.‎ ‎【点评】本题考查函数最大值的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意构造法、换元法、等价转化思想的合理运用.‎

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