福州三中2016届高中毕业生校模拟考试卷
文科数学
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1) 已知集合,，若，则实数=
A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或1或2
(2) 设复数 (是虚数单位），的共轭复数为，则=
A. B. C. 2 D. 1
(3) 有两枚正四面体骰子，各个面分别标有数字1，2，3，4，若同时抛掷两枚骰子，则两枚骰子底面2个数之差的绝对值为2的概率是
A. B. C. D.
(4) 命题“”的否定是
A. B.
C. D. ,
(5) 椭圆的左、右焦点为，过作直线垂直于轴，交椭圆C于A，B两点，
若，则椭圆C的离心率为
A. B. C. D.
(6) 在等比数列中，，则
A. 18 B. 24 C. 32 D. 34
(7) 若如下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是
A. B. C. D.
(8) 右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
(9) 已知双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为
A.x±y＝0 B. x±y＝0 C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0
(10) 函数的一段大致图象是
(11) 在中，内角A,B,C的对边分别是,若， ，则角A=
A. B. C. D.
(12) 设函数的定义域为，，且对任意的 都有，若在区间上函数恰有5个不同零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答。第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13) 已知边长为1的等边三角形中，E是BC的中点，，则 .
(14) 若实数满足 则的最大值为 .
(15) 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为3，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______________．
(16) 函数，则不等式的解集为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17) (本小题满分12分)
已知向量，，，，函数.
(I) 求函数的单调递减区间；
(II) 若函数在轴右侧的对称中心的横坐标从小到大构成数列,试求数列的前项和.
(18) (本小题满分12分)
某苗圃用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗，在树苗3个月大的时候，随机抽取甲、乙两种方式培育的
树苗各20株，测量其高度，得到的茎叶图如图(单位：cm)：
(I) 依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大?
(II) 现从用甲种方式培育的高度不低于80 cm的树苗中随机抽取两株，求高度为87 cm的树苗至少有一株被抽中的概率；
(III) 如果规定高度不低于85cm的为生长优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为树苗高度与培育方式有关?”
甲方式
乙方式
合计
优秀
不优秀
合计
[.Co
下面临界值表仅供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：，其中)
(19) (本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，.
(I) 求证：平面；
(II) 线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF?若存在，请
找出具体位置，予以证明，并求点D到平面BCF的距离；若
不存在，请分析说明理由.
(20) (本小题满分12分)
已知两定点，，动点满足，线段的垂直平分线与线段相交于点，
设点的轨迹为曲线．
(I) 求曲线的方程；
(II) 若直线与椭圆相交于两点，且，判断的面积是否为定值？若
为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
(21) (本小题满分12分)
设函数，.
(I) 当时，求曲线在点处的切线方程；
(II) 若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
(22) (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，，分别为边，的中点，
直线交的外接圆于点，且．
(I) 证明：；
(II) 过点作圆的切线交的延长线于点，
若，，求的长．
(23) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(I) 求圆的极坐标方程；
(II) 直线的极坐标方程是．记射线：与圆分别交于点，，与直线交
于点，求线段的长．
(24) (本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲
已知函数．
(I) 求不等式的解集；
(II) 对任意，都有成立，求实数的取值范围．
福州三中2016届高中毕业生校模拟考
文科数学试题答案及评分参考
一. 选择题：本大题考察基础知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.
(1) D (2) A (3) B (4) C (5) A (6) D
(7) D (8) C (9)B (10) A (11)B (12) A
二、填空题：本大题考察基础知识和基本运算. 每小题5分，满分20分.
(13) (14) 3 (15) (16)
三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分12分)
解：(I) ……………………………………1分
…………………………………………3分
令 ，
得的单调递减区间为， . ………………………………6分
(II) 由(I)知：，
由得的对称中心的横坐标 ……………8分
当对称中心在轴右侧时，且
∴数列的通项公式为 …………………………………………9分
∴=…………………………………10分
∴…
= ……………………………………………………………………………11分
……………………………………………………………………………12分
(18) (本小题满分12分)
解：(I) 用甲种方式培育的树苗的高度集中于60～90 cm之间，而用乙种方式培育的树苗的高度集中于
80～100 cm之间，所以用乙种方式培养的树苗的平均高度大. ………………………3分
(II) 记高度为87 cm的树苗为，其他不低于80 cm的树苗为，“从用甲种方式培育的高度不低于80 cm的树苗中随机抽取两株”，基本事件有：
共15个. ………………………………4分
“高度为87 cm的树苗至少有一株被抽中”所组成的基本事件有：共9个，………5分
故所求概率 …………………………………………………………………7分
甲方式
乙方式
合计
优秀
3
10
13
不优秀
17
10
27
合计
20
20
40
(III)
…………………………9分
…………………………………………………………………11分
因此可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为树苗的高度与培育方式有关 …12分
(18) (本小题满分12分)
解：(I) ∵平行四边形ABCD中，，
∴
又∵平面底面，平面底面=
底面ABCD
∴平面 ………………………………………………………………………2分
∵平面
∴
又，，、平面
∴平面 ……………………………………………………………………4分
(II) 连结AC交BD于点O，取PC中点F，连结DF，FO，FB ………………………5分
则有PA∥平面BDF，证明如下：
∵平行四边形ABCD中，
∴点是AC中点
∴当F是PC中点时，FO是的中位线
∴
又∵平面，平面
∴PA∥平面BDF ……………………………………8分
设点D到平面BCF的距离为，则
∵F是PC中点
∴
∵由(I)知：平面，
又
∴
∴ ………………………………………………………………………10分
∵由(I)知：平面，、平面
∴，
∴，
又∵F是PC中点 ∴， ∴
∴ ………………………………………………………11分
∴由，得：
∴即点D到平面BCF的距离为. ………………………………12分
(20) (本小题满分12分)
解：(I) ∵点在线段的垂直平分线上
∴ …………………………………………………………………………1分
∴
∴点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆 …………………………………3分
设此椭圆方程为，则 解得
∴曲线的方程为 …………………………………………………………5分
(II) 设，
由得： ………………………6分
∵
∴
∴， …………………………………………7分
∴ ……8分
∴
∵
∴
∴
……………………………………………………………………………9分
∵
………………………………10分
又点O到直线AB的距离 ……………………………………11分
∴ ………………………12分
(21) (本小题满分12分)
解：(I)
当时，
∴，
∴
∴曲线在点处的切线方程为即 …………4分
(II) 设，
则， ……………5分
∵ ∴
①当时，，∴，∴在上单调递增
∴对，有
∴，符合
∴ ………………………………………………………………………………………8分
②当时，若，则；若，则
∴在上单调递减，在上单调递增
∴ ……………………9分
依题意，知：即
又设，
则
∴在上单调递减
∴即，这与矛盾，不合题意……11分
综上可知，实数的取值范围是 ………………………………………………………12分[
(22) (本小题满分10分)
解法一：(I) 因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.
又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD
而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，
所以CD＝BC.
(II) 因为是圆的切线，所以，
又因为，所以，
所以
因为A、B、C、F四点共圆
所以
所以∽
所以
因为，
又由(I)知，
所以 所以
因为是圆的切线
所以根据切割线定理可得：
所以
解法二：(I) 同解法一
(II) 因为是圆的切线，所以，
又因为，所以，
所以
因为A、B、C、F四点共圆
所以
所以∽
所以
过点C作CMAB于M
由(I)知：
所以M是BD中点
又因为
所以，
由(I)知：
所以，
所以
所以
所以
(23) (本小题满分10分)
解：(I) 消去参数，得到圆的普通方程为 …………………………………2分
令代入圆的普通方程，
得的极坐标方程为，即． ……………………………………5分
(II) 在的极坐标方程中令，得，所以 ………………………………7分
在的极坐标方程中令，得，所以．…………………………………9分
所以．………………………………………………………………10分
(24) (本小题满分10分)
解法一：(I)
当时，，即，所以；………………………………………1分
当时，，即，所以；……………………………2分
当时，，即，所以；……………………………………3分
综上，不等式的解集为 ……………………………………5分
(II)
令，当直线经过点时，
所以当即时成立；…………………………………………………………7分
当即时，
由得：
所以当时成立，此时且
所以 ………………………………………………………………………………9分
综上 实数的取值范围是 ……………………………………………10分
解法二：(I) 同解法一
(II) 设
因为对任意，都有成立
所以
①当时，
所以 所以，符合 ……………………………………7分
②当时，
所以 所以，符合 ………………………………………9分
综上 实数的取值范围是 ……………………………………………10分
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