福州三中2016年高三校模拟考
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 若复数为纯虚数，则实数的值为
（A） （B） （C） （D）
（2） 已知集合,，则等于
（A） （B） （C）（D）
（3） 执行右面的程序框图，如果输入的的值为1，则输出的的值为
（A）4 （B）13
（C）40 （D）121
（4） 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为
（A）斤 （B）斤
（C）斤 （D）斤
（5） 已知，
，则等于
（A） （B） （C） （D）
（6） 若命题 ，命题，则下列命题为真命题的是
（A） （B） （C） （D）
（7） 为保证青运会期间比赛的顺利进行，4名志愿者被分配到3个场馆为运动员提供服务，每个场馆至少一名志愿者，在甲被分配到场馆的条件下，场馆有两名志愿者的概率为
（A） （B） （C） （D）
（1） 已知实数，满足若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）．
（A） （B） （C）或 （D）
（2） 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是
（A） （B） （C） （D）
（3） 在平行四边形中，，，，为平行四边形内一点，，若（），
则的最大值为
（A）1 （B） （C） （D）
（4） 已知从点出发的三条射线，，两两成角，且分别与球相切于，，三点．若球的体积为，则，两点间的距离为
（A） （B） （C）3 （D）
（5） 已知点是双曲线：（，）的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的离心率的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（6） 已知函数满足，且当时，，则__________．
（7） 过抛物线上任意一点向圆作切线，切点为，则的最小值等于__________．
（8） 在数列中，已知，前项和满足()，则当时，___________．
（9） 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是____________．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（10） （本小题满分12分）
如图，点在内，，，，设．
（Ⅰ）用表示的长；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值，并求出此时
的值．
（1） （本小题满分12分）
某商家每年都参加为期5天的商品展销会，在该展销会上商品的日销售量与是否下雨有关．经统计，2015年该商家的商品日销售情况如下表：
日期
6月18日
6月19日
6月20日
6月21日
6月22日
天气
小雨
小雨
多云
多云
晴
日销售量
（单位：件）
97
103
120
130
125
以2015年雨天和非雨天的日平均销售量估计相应天气的销售量．若2016年5天的展销会中每天下雨的概率均为，且每天下雨与否相互独立．
（Ⅰ）估计2016年展会期间能够售出的该商品的件数；
（Ⅱ）该商品成本价为90元/件，销售价为110元/件．
（ⅰ）将销售利润（单位：元）表示为2016年5天的展销会中下雨天数的函数；
（ⅱ）由于2016年参展总费用上涨到2500元，商家决定若最终获利大于8000元的概率超过0.6才继续参展，请你为商家是否参展作出决策，并说明理由．
（2） （本小题满分12分）
如图，正方形所在的平面与所在的平面交于，且平面．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．
（3） （本小题满分12分）
、分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，是上任意一点，是线段的中点．已知的周长为，面积的最大值为．
（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）过作直线交于两点，，以为邻边作平行四边形，求四边形面积的取值范围．
（4） （本小题满分12分）
已知，函数，曲线与轴相切．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
（5） （本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲
如图，，
分别为边，的中点，直线交的外接圆于点，且．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）过点作圆的切线交的延长线于点，若，，求的长．
（1） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的极坐标方程是．记射线：与分别交于点，，与交于点，求的长．
（2） （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围．
福州三中2016年高三校模拟考试参考答案及评分标准
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）D （2）A （3）C （4）B （5）D （6）A
（7）C （8）D （9）B （10）A （11）B （12）C
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
（13） （14） （15） （16）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）本小题主要考查余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）在中，，，由余弦定理得：
， 2分
在中，，，设，由余弦定理得：
， 3分
所以， 4分
所以，解得. 6分
（Ⅱ）四边形的面积，
因为， 7分
， 9分
所以， 10分
所以当，即时， 11分
四边形的面积的最大值为． 12分
（18）本小题主要考查概率与统计等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．
解：（Ⅰ）由2015年该商家的商品日销售情况表可知：
2015年雨天的日平均销售量为件，非雨天的日平均销售量为件， 2分
设2016年5天的展销会中下雨的天数为，则， 3分
所以， 4分
所以估计2016年5天的展销会有3天下雨，2天不下雨，
所以估计2016年展会期间能够售出的该商品的件数为
（件）. 5分
（Ⅱ）（ⅰ）依题意得，销售利润
==，． 7分
（ⅱ）设商家最终获利为，则， 8分
若最终获利大于8000元，则，解得，
所以，又因为，所以最终获利大于8000元的概率为：
9分
． 11分
所以商家应决定参加2016年的展销会． 12分
注：本小题也可用对立事件的概率计算．
9分
． 11分
所以商家应决定参加2016年的展销会． 12分
（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）因为平面，平面，所以， 2分
在正方形中，，又因为，
所以平面， 4分
又因为平面，所以平面平面． 5分
（Ⅱ）在平面内，过作，
由（Ⅰ）知平面，所以，
所以，又平面，所以两两垂直．
以，，分别为轴，
建立空间直角坐标系如图所示， 6分
因为，所以，又，所以，
所以，，，，……7分
所以平面的法向量为， 8分
设平面的法向量为，
，，
所以由，得，令，则， 10分
所以，
设二面角为，所以． 12分
（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）连接，由椭圆定义知，
是线段的中点，是线段的中点，，
周长为，
即，……① 2分
又 面积，所以当时，最大，
所以，……② 4分
由解得，所以的标准方程为． 6分
（Ⅱ）设，，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，， 7分
， 8分
， 9分
设，则，，
因为，所以，当且仅当时，等号成立， 10分
所以，
， 11分
四边形面积的取值范围． 12分
（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）设切点为，，
依题意即
解得 3分
所以，．
当变化时，与的变化情况如下表：
所以在上单调递增，在上单调递减． 5分
（Ⅱ）存在，理由如下： 6分
等价于或
令，，
则，，
①若，
当时，，，所以；
当时，，，所以，
所以在单调递减区间为，单调递增为，
又，所以，当且仅当时，，
从而在上单调递增，又，
所以或即成立． 9分
②若，因为，
，
所以存在，使得，因为在单调递增，
所以当时，，在上递增，
又，所以当时，，
从而在上递减，又，所以当时，，
此时不恒成立； 11分
③若，同理可得不恒成立．
综上所述，存在实数． 12分
请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
（22）选修：几何证明选讲
本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．
解：（Ⅰ）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.
又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD
而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，
所以CD＝BC. 5分
（Ⅱ）因为是圆的切线，
所以，
又因为，所以，
所以，
因为A，B，C，F四点共圆，
所以，
所以∽，
所以，
因为，，
又由（Ⅰ）知，，
所以，所以，
因为是圆的切线，
所以根据切割线定理可得：，
所以． 10分
解法二：（Ⅰ）同解法一． 5分
（Ⅱ）因为是圆的切线，所以，
又因为，所以，
所以，
因为A，B，C，F四点共圆，
所以，
所以∽，
所以，
过点C作CMAB于M，
由（Ⅰ）知：，
所以M是BD中点，
又因为
所以，
由（Ⅰ）知：，
所以，，
所以，
所以，
所以． 10分
（23）选修；坐标系与参数方程
本小题考查极坐标方程和参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．
解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为，
令代入的普通方程，
得的极坐标方程为，即． 5分
（Ⅱ）在的极坐标方程中令，得，所以．
在的极坐标方程中令，得，所以．
所以． 10分
（24）选修：不等式选讲
本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．
解：（Ⅰ），
当时，，即，所以；
当时，，即，所以；
当时，，即，所以；
综上，不等式的解集为． 5分
（Ⅱ）
令，当直线经过点时，，
所以当即时成立；
当即时，令，得，
所以，即，
综上或． 10分
解法二：（Ⅰ）同解法一． 5分
（Ⅱ）设
因为对任意，都有成立，所以．
①当时，，
所以 所以，符合．
②当时，，
所以 所以，符合．
综上，实数的取值范围是． 10分
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