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成都重点中学考热身试题
数 学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
是
开始
输入S
结束
否
2．已知复数，是的共轭复数，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，
则判断框中应填入的条件为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
主视图
4
3
2
2
3
2
侧视图
俯视图
4．已知，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6．已知为异面直线，，直线，，则（ ）
（A） （B）
（C）与相交，且交线与l垂直 （D）与相交，且交线与l平行
7．已知分别为的三个内角的对边，，且
，则面积的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．某班级举办的“中国梦·我的梦”的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（ ）
（A）24 （B）36 （C）48 （D）60
9．已知，存在使得，则的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．设抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点，且．则（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试卷纸、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
成绩/分
O
20
40
60
80
100
0.020
0.015
频率
组距
11．二项式展开式中常数项是 ．
12．某班的全体学生参加消防知识竞赛，
成绩的频率分布直方图如图，数据的分组
依次为，
若低于60分的人数是15，则该班的学生
人数是 ．
13．函数的值域为 ．
14．已知满足，且．则的最小值为__________．
15．若函数对定义域的每一个值，在其定义域内均存在唯一的，满足，则称该函数为“依赖函数” ．给出以下命题：①为依赖函数；②（）为依赖函数；③为依赖函数；④均为依赖函数，且定义域相同，则为依赖函数．
其中，所有真命题的序号为__________．
三、解答题：本大题共6小题，75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题12分）已知函数的部分图象如图所示．
（1）写出的解集；
（2）设，求的值．
1
O
y
x
17．（本小题12分）递增数列满足，．
（1）求数列的前项和；
（2）求数列的前项和．
18．（本小题12分）现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场120份样本数据统计，年利润分布如下表：
年利润
1.2万元
1.0万元
0.9万元
频数
20
60
40
对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表：
合格次数
2次
1次
0次
年利润
1.3万元
1.1万元
0.6万元
记随机变量分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润，
（1）求的概率；
（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断那个项目更具有投资价值，并说明理由．
19．（本小题12分）如图1，直角梯形中，，分别为边和上的点，且，将四边形沿折起成如图2的位置，使平面和平面所成二面角的大小为．
（1）求证平面；
（2）求平面与平面所有的锐二面角大小的余弦值．
F
E
D
C
B
A
图1
F
E
D
C
B
A
图2
20．（本小题13分）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．
（1）求该椭圆的方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，证明为定值；
（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆过且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，说明理由．
21．（本小题14分）已知函数．
（1）当时，求函数在上的最小值；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）若，不等式恒成立，求的取值范围．
高考热身试题（参考答案）
一、选择题：
（A）（C）（B）（D）（A）（D）（C）（D）（A）（D）
二、填空题：
50 ②③
三、解答题：本大题共6小题，75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
16．1
O
y
x
解（1）由图象知， …………….3
所以
解得，故解集为 …………………….6
（2），
化简得，
……………………9
，
，
…………………….12
17．解（1）由已知数列为等差数列，且
又，所以，
即， ……………………3
，
…………………….6
（2）数列，
令数列，
则
…………………….12
（另解：，
，
所以）
18．解（1）的所有情况有：
，
，
所以， …………………….6
（2）随机变量的分布列为：
X
1.2
1.0
0.9
P
所以万元， …………………….8
随机变量的分布列为：
Y
1.3
1.1
0.6
P
所以万元 …………………….10
，且的概率与的概率相当
所以从长期投资来看，项目甲更具有投资价值 …………………….12
19． F
E
D
C
B
A
O
y
x
z
解（1）在中，，
所以
又平面，且，
，
由平面，……………………6
（2）据题意得：正三角形正方形，
取AE中点O，如图建立空间直角坐标系 …………………7
，，………………8
设平面法向量为，
由，令，则
， …………………9
设平面法向量为，
由，令，则
， …………………10
所以， …………………11
所以平面与平面所有的锐二面角大小的余弦值为 …………………12
20．解（1）由已知，，
由椭圆定义
所以椭圆方程为 …………………….3
（2）设，
则，,
在直线上，
点均在直线上，
即，
由此得， …………………….5
满足，即
…………………….7
（3）不妨设，圆心，
所以圆，
由内切圆定义知，椭圆上的点到圆心的距离的最小值为，
设是椭圆上任意一点，
，
当时，最小，所以，①
假设椭圆上存在过的内切圆，则，②
又在椭圆上，即，③
由①②③得：或，…………………….12
当时，不合题意，舍去
经验证满足条件，
综上，存在这样的内切圆，圆心为 …………………….13
21．解（1）时，，
，
，
所以函数在上是增函数，
又函数的值域为R，
故，使得，
又，，
所以当时，，
即函数在区间上递增，
所以 …………………….4
（2），
由（1）知函数在上是增函数，且，使得
进而函数在区间上递减，在上递增，
，
由得：，
，
，
因为，不等式恒成立，
…………………….9
（另解：因为，不等式恒成立，
即
由，
当时取等号，
）
（3）由，
，
，
对任意成立，
令函数，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，函数取得最小值，
…………………….14
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