2016年山东师大附中高考模拟试题
数学(文史类)
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分150分．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米规格的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．
第I卷(共50分)
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分．共50分．
1.已知集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数若，则实数的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 命题“若，则且”的逆否命题是（ ）
A．若，则且 B．若，则或
C．若且，则 D．若或，则
5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是（ ）
6. 下列说法中正确的个数为（ ）
①若样本数据的平均数，则样本数据的平均数为10
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后， 平均数与方差均没有变化
③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为的同学均被选出，则该班学生人数可能为60
A．0 B．1 C． 2 D．3
7.函数的图象大致为（ ）
8.函数的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于轴对称，则的最小正值是 （ ）
A． B．1
C．2 D．3
9.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的是( )
A.18 B.50
C.78 D.306
10. 设函数其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.在中，若．则角等于
12 .设，满足约束条件,则目标函数的取值范围为 ．
13.在区间上随机取一个数，则使得圆与直线存在公共点的概率为
14.四边形中，且，则的最小值为
15.、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本题满分12分）已知函数.
（I）求的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）若的一个零点，求的值.
17.(本题满分12分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．数据分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 .第6小组的频数是7.
（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；
（Ⅱ）若参加测试的学生中9人成绩优秀，现要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知学生、的成绩均为优秀，求两人、至少有1人入选的概率.
18.(本题满分12分)如图，为圆的直径，点、在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）设的中点为，求证：平面；
（III）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，，求．[来源19．（本题满分12分）用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数（），使得每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和.设第（）行的第二个数为，
（I）写出与的关系，并求；
（Ⅱ）设 ，证明：
20．（本题满分13分）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，过与垂直的直线与椭圆交于，与交于，
（1）求证：直线的斜率成等差数列
（2）是否存在常数使得成立,若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
21．（本题满分14分）已知函数（）在其定义域内有两个不同的极值点．
（I）求的取值范围；
（Ⅱ）记两个极值点分别为,,且．已知,若不等式恒成立,求的范围．
2016年山东师大附中高考模拟试题参考答案
数学(文史类)
一、BCBDB AADAD
二、 5
三、16.解：（I）
-------------------3分
的最小正周期为 ------------------4分
函数的单调递增区间是 ------------------6分
（II） ------------------8分
------------------10分
------------------12分
17.解：（Ⅰ）第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，
∴此次测试总人数为(人).
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．------------------4分
（Ⅱ）设成绩优秀的9人分别为则选出的2人所有可能的情况为：
.
共36种，其中、到少有1人入选的情况有15种，
∴、两人至少有1人入选的概率为 ------------------12分
18.解：（1）证明： 平面平面,,
平面平面=，
平面，
平面， ,
又为圆的直径，，
平面. ------------------4分
（2）设的中点为，则，又，
则，为平行四边形， ，
又平面，平面，
平面. -----------------8分
（3）过点作于，平面平面，
平面，，
平面，
，
． ------------------12分
19.解（1） 由已知得，，
又 ------------------6分
（2）由（1）， --8分
------------------12分
20.解(1)由题意知，所以，即． --------2分
又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆，与直线相切，所以， ----------------------3分
所以，，故椭圆C的方程为． -------------------4分
(2)由题意知直线的斜率存在且不为0，则直线的方程为．
由得． ①
设点，，则．
利用根与系数的关系得，， ---------------6分
由题意知直线AE的斜率为，则直线的方程为
令，得P点的坐标
=
=
=
即，所以成等差数列 -------------------------9分
(3)
---------------------------------------------------------------10分
同理： ---------------------------11分
所以，存在使得等式成立 -------------13分
21.解：因为
（解法一）转化为,函数与函数的图象在上有两个不同交点,如图．
可见,若令过原点且切于函数图象的直线斜率为,只须．
令切点,所以,又,所以,
解得, 于是,所以． ------------6分
（解法二）转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点．
又,即时,,时,,
所以在上单调增,在上单调减．从而,
又有且只有一个零点是1,且在时,,在时,,
所以的草图如下,
可见,要想函数与函数的
图象在上有两个不同交点,
只须． ------------6分
（2）因为等价于．
由（1）可知分别是方程的两个根,
即,
所以原式等价于,因为,,
所以原式等价于． ------------8分
又由,作差得,,即．
所以原式等价于,
因为,原式恒成立,即恒成立．
令,,
则不等式在上恒成立．
令,
又,
当时,可见时,,所以在上单调增,又,
在恒成立,符合题意．
当时,可见时,,时,
所以在时单调增,在时单调减,又,
所以在上不能恒小于0,不符合题意,舍去．
综上所述,若不等式恒成立,只须,又,所以．-------14分
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