2016年山东师大附中高考模拟试题(A卷)
数学(理工类)
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米规格的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损．
第I卷(共50分)
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分。共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则等于
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于
A． B． C． D．
3下列说法正确的是
A． 离散型随机变量，则
B．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后， 平均值与方差均没有变化
C．采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为的同学均被选出，则该班学生人数可能为60
D．某糖果厂用自动打包机打包，每包的重量服从正态分布，从该糖厂进货10000包，则重量少于96.4kg一般不超过15包
4. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是
[ 学
5.命题 ，
命题,则什么条件
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．必要充分条件 D．非充分非必要条件
6.执行如图所示的程序框图，，则输出的是
A.18 B.50 C.78 D.306
5.函数的图象如图所示，
为了得到的图象，则只要将的图象
A.向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C.向左平移个单位 D. 向左平移个单位
8.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4， 6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为
A．432 B．288
C．216 D．144
9.设函数，若，，则等于
A. B. C. D.3
10. 设函数其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11 . 已知与之间具有很强的线性相关关系，现观测得到的四组观测值并制作了相应的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为，其中的值没有写上．当等于时，预测的值为
12. 直线与轴的交点分别为, 直线与圆的交点为. 给出下面三个结论：① ； ②；③，则所有正确结论的序号是
13.四边形ABCD中，且，则的最小值为
14.设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为 ．
15.定义在上的函数满足，的导函数，
且恒成立，则的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别是，，，已知，．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ) 若角为锐角，求的值及的面积．
17.(本题满分12分)四边形是菱形,是矩形,
,是的中点
(I)证明: (II)求二面角的余弦值
18（本小题满分12分）用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数（），使得每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和,.设第（）行的第二个数为，（1）写出第7行的第三个数；
（2）写出与的关系并求；
（3）设 证明：
19.(本题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙、乙胜丙的概率都为，各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.
（1）求第局甲当裁判的概率；
（2）记前局中乙当裁判的次数为，求的概率分布与数学期望.
20(本题满分13分)
设函数 (I)当时,求证:
(II)若函数有两个极值点,求实数的取值范围
21(本题满分14分)抛物线的焦点是的顶点,过点的直线的斜率分别是,直线与交于，直线与交于
（I）求抛物线的方程,并证明：分别是
的中点，且直线过定点
（II）①求面积的最小值
②设面积分别为，
求证：
2016年山东师大附中高考模拟试题(A卷)
数学(理工类)答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
B
A
A
D
B
B
D
第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
（11）【答案】
解析 ：由已知，，，所以， ，当时，．
（12） 【答案】①③
（13）【答案】
解析：设相交于O,
（14）【答案】5
【解析】取的中点，则由，得,即,即,由，设，则，即，由双曲线的定义，得，，则椭圆的离心率
（15）【答案】
解析：设
设
，所以
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（16）解：(Ⅰ) 因为，且 ，
所以．--------------------------2分
因为，
由正弦定理，得．…………………6分
(Ⅱ) 由得．
由余弦定理，得． -------9分
解得或（舍负）．
所以． …………………12分
（17）解析:
(I) 证法一: 设,的中点为，因为是的中点，
是平行四边形
证法二：因为是的中点，
（II）
设的中点为，是矩形，，
，
四边形是菱形，
以为原点，所在直线为x轴，所在直线为Y轴，所在直线为Z轴 建立空间直角坐标系
平面的法向量为，平面的法向量为
令，
设二面角 的大小为
则
（18）
解析（1）第7行的第三个数为41；-------------------------------2分
（2）由已知得，-------------------------------------4分
，
又--------------------------------------------7分
（3）由（2），
-----------------------9分
----------------------------------------------------------12分
(19)解：（1）第2局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，
所以第3局甲当裁判的概率为
. ……………………6分
（2）可能的取值为. ……………………7分
； ……………………8分
； ……………………9分
. ……………………10分
所以的数学期望
. ……………………12分
（20）(本题满分13分)
解(I) ,只需证:当 即可
--------------------------------1分
所以--------------------------------------------------2分
------4分
所以当 从而当时, ------------------6分
(II)
函数有两个极值点,等价于有两个变号零点
即方程有两个不相同的根-----------------------------------7分
设,
--------9分
---------------------------------------10分
当有两个交点
方程有两个不相同的根, 函数有两个极值点----------------------13分
（21） 解: (1) 的顶点,抛物线--------------2分
直线
,设
--------------------------------------①----------------------3分
,同理
两点的坐标满足方程,--------------------------------5分
直线
即所以直线过定点----------------------------7分
(II)①
到直线的距离--------------------------------8分
-------------------10分
②,设,
,
,
-------------12分
所以 ------------------------------14分
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