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辽宁师范大学附属中学高三精品卷测试数学（理）
命题人：高三数学备课组
第Ⅰ卷( 60分)
一．选择题:（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知，满足约束条件 则目标函数的最大值为( )
A． B． C． D．
4.已知命题p:函数的图象的对称中心坐标为；命题q：若函数在区间上是增函数，且>0，则有成立.下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年
商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图
所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则
图中的x为( )
A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4
把的右数第位数字赋给
是
否
开始
输入
输出
结束
6. 按右图所示的程序框图，若输入，则输出的( )
A. 45 B. 47 C. 49 D. 51
7．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，
特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．
由于爱好者众多，高三学生队队员指定由1班的6人、
2班的8人、5班的10人按分层抽样构成一个12人的
篮球队．首发阵容有5人组成，要求每个班至少1人，
至多2人，则首发方案数为（ ）
A．720 B．270 C．390 D．300
8.在△ABC中，三个内角，，所对的边为，，
，若，，，
则( )
A. B. C. D.
9.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A、 B、 C、 D、
10．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )
A．24 B．32 C．48 D．64
11.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面
ACD1截球O的截面面积为( )
A. B. C.π D.π
12．设函数，，若实数满足，， 则 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(90分)
二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，则二项式的展开式中的系数为 ．
14.如果满足的三角形有且只有一个，那么的取值范围是 .
15．设α为锐角， =（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=，则sin（α+）= ．
16.如图，已知是双曲线的上下焦点，过点作以为圆心，为半径的圆的切线，P为切点，若切线段被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题满分12分)
已知正项数列的前项和满足，且是和的等比中项.
求数列的通项公式；
符合表示不超过实数的最大整数，如记，求数列的前项和
18. (本小题满分12分)
如图，在斜三棱柱中，,且，,且。
（1）求证：平面平面;
(2)求二面角的正切值的大小。
19、(本小题满分12分)
语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率
分布直方图如下，如果成绩大于135的则认为特别优秀。
（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的
大约各多少人？
（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，
从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有人，求的分
布列和数学期望。
（附公式及表）
若～，则，.
20．（本小题满分12分）
已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线C于M、N两点，且．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D(0，4)，若动圆P与x轴交于A、B两点，且，求的最小值．
21．(本小题满分12分)
已知函数
(1)若在处取得极值，求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)证明：为自然对数的底数）.
B
A
C
D
E
O
F
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．
如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，
OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于
点D．连接CF交AB于点E．
（1）求证：DE2=DB•DA；
（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．
23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
，A，B两点的极坐标分别为.
（1）求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值.
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
已知函数.
（1）解不等式：；
（2）已知，求证：恒成立.
辽宁师范大学附属中学高三精品卷测试数学（理）
答案
1—5 DACAB 6—10 DCBAD 11—12 AB
13.-80 14.或 15. 16.2
17.(1) (6分) (2) (12分)
18.（1）证明：在中，，
， （ 2分）且、AC是面内的两条相交直线，平面（ 4分）又平面，平面平面 （5分）
（2）在中，，，又且AB、AC是面ABC内的两条相交直线，面ABC，（ 7分）因而，可建立如图所示的坐标系：则B（0，0，0），A（12，0，0），C（12，5，0）,由得， （8分）
取平面的一个法向量，设平面BCC1B1的一
个法向量，由得
取，则 （ 10分），设的大小为，则，.二面角的正切值的大小为 （ 12分）
19.（1）语文特别优秀的同学有10人，数学特别优秀的同学有12人（4分）
（2）
x
0
1
2
3
P
（9分）
E(X)=(12分)
20． 解：(1) 设抛物线的焦点为，则直线，
由，得（2分） ，，， （4分） 抛物线的方程为 （5分）
(2) 设动圆圆心，则 且圆令，整理得：，解得：， （7分）
，（ 9分）当时，，
当时，，， ， 所以的最小值为． （12分）
21、解：（1）是的一个极值点，则
，验证知=0符合条件（2分）（2）
1）若=0时，单调递增，在单调递减；
2）若上单调递减（4分）
3）若
再令
在（6分）
综上所述，若上单调递减，
若
。
若（7分）
(3)由（2）知，当
当
选做题
B
A
C
D
E
O
F
22.（1）证明：连接OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．
所以DE2=DB•DA． ……………… 5分
（2）解：DF2=DB•DA，DB=2，DF=4DA= 8， 从而AB=6， 则．又由（1）可知，DE=DF=4， BE=2，OE=1． 从而 在中，．
23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）由得消去参数t，得，
所以圆C的普通方程为．
由，得，
即，换成直角坐标系为，所以直线l的直角坐标方程为（5分）
（2）化为直角坐标为在直线l上，并且，设P点的坐标为，
则P点到直线l的距离为，，
所以面积的最小值是…………………………（10分）
（说明：用几何法和点到直线的距离公式求也可参照给分．）
24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
（1）解：，即，
①当时，不等式为，即，
是不等式的解；
②当时，不等式为，即恒成立，
是不等式的解；
③当时，不等式为，即，
是不等式的解．
综上所述，不等式的解集为． …………………………………………（5分）
（2）证明：，
，
恒成立． …（10分）
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