九江一中2016适应性考试理科数学试卷（二）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，，则为（ ）
A. B . C. D.
2.设，则使为奇函数且在单调递减的的值的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3、已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4.若复数的实部与虚部相等，则实数等于（ ）
A. B . C. D.
5.下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A. 若“”为假命题，则、均为假命题
B .“” 是“”的必要不充分条件
C.“”是“”的充分不必要条件
D.若命题p：“实数,使”，则命题为“对于都有”
6.若的展开式中项系数为20，则的最小值为（ ）
A. B . C. D.
7.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为( )
A. 钱 B .钱 C.钱 D.钱
8. 阅读如右上图所示的程序框图，若输入，则输出的值是（ ）
A. 3 B . 4 C. 5 D. 6
9.已知函数关于直线对称 , 则值为( )
A. B .1 C. D.
10.已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中， 最长的棱的长度是（ ）
A． B． C． D．
12.已知定义域为R的偶函数满足：，有，且当时，。若函数在区间内至少有三个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知满足，则的最大值为 .
14.九江一中运动会上高一（1）班6名运动员报名参加4项比赛，每个项目至少有一人参加且每人只能报一个项目，其中A，B两名运动员报同一项目，则不同的报名种数共有_______种．
15.已知函数的图象过点. 在△中，角，， 的对边分别是，，.若， 则的取值范围是 .
16.已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和
所在的平面互相垂直，且,，则球的表面积为 .
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)已知等比数列 ，，，数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设的前项和为，求证：．
18. (本小题满分12分)某网站点击量等级规定如下：
点击次数（万次）
等级
差
中
良
优
统计该网站6月份每天的点击数如下表：
点击次数（万次）
天数
5
11
10
4
（1）若从中任选两天，则点击数落在同一等级的概率；
（2）从6月份点击量低于100万次的天数中随机抽取3天，记这3天点击等级为差的天数为随机变量，求随机变量的分布列与数学期望．
19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2，点M在PD上．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）若二面角M－AC－D的大小为45°，求BM与平面PAC所成角的正弦值．
20.(本小题满分12分)已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，其长轴的左右两个端点分别为A，B，直线 交椭圆于两点C，D.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线AD，CB的斜率分别为 ，若 ，求m的值.
21. (本小题满分12分)已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数，讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中函数有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围。
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，在中，于，于，交于点，若．
（Ⅰ）求证：,
（Ⅱ）求线段的长度．
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（为参数），以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是.
(Ⅰ)求曲线与C2的直角坐标方程；
(Ⅱ)设P为曲线C1上任意一点，Q为曲线C2上任意一点，求|PQ|的最小值.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）设为正实数，且，求证：．
九江一中2016适应性考试理科数学试卷（二）参考答案
一 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
A
C
B
B
B
D
C
C
D
B
二 填空题
13. 14. 240 15. 16.
三 解答题
17.解：（Ⅰ）因为是等比数列，且，，所以
，. ……5分
(Ⅱ)
. ……8分
当为奇数时,;当为偶数时,
综上: ……12分
18.解：（1）折点击数落在同一等级的为事件概率，
即点击数落在同一等级的概率为． ……4分
（2）的可能取值为0、1、2、3， ……5分
，，，，
随机变量的分布列为
0
1
2
3
数学期望． ……12分
19.解：(1)取中点，连结,则，所以四边形为平四边形，故，又,所以,
故,又，,所以,故有 ……5分
(2)如图建立空间直角坐标系，则
设,易得
设平面的一个法向量为，
则令，
即 ……8分 又平面的一个法向量为，
，解得， ……10分
即，， 而是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，则.
故直线与平面所成的角的正弦值为 ……12分
20. 解：（Ⅰ）由，解得，∴椭圆方程为 . ……4分
（II）设 ，联立方程 得 ①，……6分
∴判别式，
∵ 为①式的根，∴ ， ……8分
由题意知 ，∴ .
∵ ，即 ，得 ②，
又 ，∴ ，同理 ， ……10分
代入②式，解得 ，即 ，
∴ 解得 又∵ ∴ （舍去），∴ .……12分
21. 解：（Ⅰ）易知的定义域为，且又得，
所以在点处的切线方程为. ……2分
（Ⅱ）.有, ……3分
当时,在区间上单调减,在区间上单调增;
当时,在区间上单调增,在区间上单调减,在区间上单调减;
当时,在区间上单调增,无减区间. ……6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数有两个极值点，则且，
又因为，所以
因为，于是设 ……8分
，有，因为
所以且，得，即在内单调递减，
所以，故 ……12分
22．（Ⅰ）证明：由已知，所以在以为直径的圆上，由割线定理知： ……3分
（Ⅱ）解：如图，过点作于点，由已知，又因为，所以四点共圆，所以由割线定理知: ，① ……5分
同理四点共圆，由割线定理知：② ……7分
①+②得
即所以 ……10分
23. 解：(Ⅰ)将代入得：
曲线C2的直角坐标方程为.
曲线的直角坐标方程为
………5分
(Ⅱ)由题意可知|PQ|的最小值即为P到直线的距离的最小值，
∵=
所以|PQ|的最小值为. ………10分
24. （Ⅰ）解：不等式等价于不等式组
或或
所以不等式的解集为 ……5分
（Ⅱ）证明：因为，所以
因为为正实数，所以由基本不等式得（当且仅当时取等号）
同理：；，所以
所以
所以 ……10
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