数学试题（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合，且，则（ ）
A．1 B．0 C．—2 D．—3
2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．若“”为假命题，则均为假命题
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”的必要不充分条件是“”
D．若命题，则命题
4.已知，且，则为（ ）
A． B． C．2 D．
5.在等差数列中，，则数列的前11项和（ ）
A．24 B．48 C．66 D．132
6.已知.若在区域中随机的扔一颗豆子，求该豆子落在区域中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7.执行如图所示的程序框图，如果输入的均为2，则输出的等于（ ）
A． B． C． D．
8.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9.如图是一个几何体的三视图，正视图和俯视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为（ ）
A． B．
C． D．
10.若关于直线与平面，有下列四个命题：
①若，且，则；
②若，且，则；
③若，且，则；
④若，且，则；
其中真命题的序号（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①
11.三棱锥中，⊥平面，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12. 是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.与直线垂直的直线的斜角为 .
14.设为不等式组所表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为 .
15.如图，在三角形中，，，则 .
16.设点，若在圆上存在点，使得，则
的取值范围是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分12分)等比数列的各项均为正数，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18. (本小题满分12分)
2013年，首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月。经气象局统计，北京市从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气。《环境空气质量指数（）技术规定（试行）》将空气质量指数分为六级：其中，中度污染（四级），指数为151-200；重度污染（五级），指数为201-300；严重污染（六级），指数大于300.下面表1是该观测点记录的4天里，指数与当天的空气水平可见度（千米）的情况，表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日指数频数统计结果，
表1：指数与当天的空气水平可见度（千米）情况
指数
900
700
300
100
空气可见度（千米）
0.5
3.5
6.5
9.5
表2：北京1月1日到1月30日指数频数统计
指数
[0,200]
(200,400]
(400,600]
(600,800]
(800,1000]
频数
3
6
12
6
3
（1）设变量，根据表1的数据，求出关于的线性回归方程；
（2）根据表2估计这30天指数的平均值.
(用最小二乘法求线性回归方程系数公式)
19. (本小题满分12分)
已知直三棱柱中，，点是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若底面为边长为2的正三角形，.求三棱锥的体积.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为，点在上.
(1)求的方程；
(2)直线不经过原点，且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.
21. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证函数在区间上存在唯一的极值点，并利用二分法求函数取得极值时相应的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据）.
22. (本小题满分10分)
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
(1)写出直线与曲线在直角坐标系下的方程；
(2)设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.
参考答案
1-5.C A C B D 6-10.A B B A C 11.A 12.C
13. 14. 15. 16.
(2) .故，，所以数列的前项和为.
18. 解：(1) ;
(2)这30天指数的平均值，即这30天指数的平均值为500.
19．(1)证明：连接交于点，连接因为四边形是矩形，则为的中点，又是的中点，，又面，面，面.
(2)证明：是的中点，⊥，又⊥面面，⊥，面，面，平面⊥平面
.
(3)解：，则(2)知面，所以高就是，所以.
20．试题分析：(1) ，求得，由此可得的方程.（Ⅱ）把直线方程与椭圆方程联立得，所以，于是.
试题解析：
解：(Ⅰ)由题意有，解得，所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）设直线，把代入得，故，于是直线的斜率，即，所以直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.
21.解：(1) ，则，∴曲线在点处的切线方程为，即：.
(2)∵，∴，令
，则在上单调递增，∴在上存在唯一零点，在上存在唯一的极值点.取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下
区间中点坐标
中点对应导数值
取区间
1
0.6
0.3
由上表可知区间的长度为0.3，所以该区间的中点，到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应的值，∴函数取得极值时，相应.
22.解：（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.
(2)曲线经过伸缩变换得到曲线的方程为，则点的参数方程为（为参数），代入得，所以的取值范围是.
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