江苏省2016届高三高考前热身训练数学试题 Word版含答案.doc

江苏省2016届高三高考前热身训练 数学试题 第I卷(必做题 160分)‎ 一、填空题：本题共14个小题，每小题5分，共70分。‎ ‎1.设集合，则等于 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎2.若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．‎ 答案： 3 ‎ ‎3.平面向量的夹角为 ▲ ．‎ 答案： 2 ‎ ‎4. 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．‎ 答案： ‎ ‎5. 下面是一个算法的伪代码，其运行的结果为 ▲ ．‎ S←1‎ For From 3 To 9 Step 2‎ S←S+‎ End For Print S 答案：25‎ ‎6. 已知直线平面，直线平面，有下列四个命题：‎ ‎①若，则； ②若，则；‎ ‎③若，则； ④若，则.‎ 以上命题中，正确命题的序号是 ▲ ．‎ 答案：①③‎ ‎7.已知双曲线的一个实轴端点恰与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为 ▲ ． ‎ 答案：‎ ‎8. 已知数列满足，则的值为 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎9.已知函数的最大值为M,最小值为，则= ▲ ． ‎ 答案：2‎ ‎10. 在中，角A,B,C所对的边分别是，若，且则的面积等于 ▲ ． ‎ 答案：‎ ‎11. 已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x0，使得f（x）≥f（x0），‎ g（x）≥g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数 f（x）=x2+px+q（p，q∈R），g（x）=是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[，2]上的最大值为 ▲ ．‎ 答案：2‎ ‎12. 已知定义在上的函数，则方程的实数解的个数是 ▲ . ‎ 答案：6‎ ‎13．在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，则的最大值为 ▲ ．‎ 答案： ‎ 解：由题意得：‎ ‎（1）此时的最大值为；（2）此时的最大值为10；‎ ‎（3）此时的最大值为10；（4）此时的最大值为.‎ ‎14. 设正实数满足，则当取得最大值时，‎ 的最大值为 ▲ .‎ 答案：3‎ 三、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15. （本小题满分14分）‎ 已知函数（其中），若的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 ‎（I）求的单调递增区间；‎ ‎（II）在中角A、B、C的对边分别是满足恰是的最大值，试判断的形状.‎ 解：(Ⅰ)因为………………………3分 的对称轴离最近的对称中心的距离为 所以，所以，所以 ‎………………………………5分 解 ‎ 得：‎ 所以函数单调增区间为……………………6分 ‎(Ⅱ) 因为，由正弦定理，‎ 得 因为 ‎ ‎，所以 所以 ，所以……………………9分 所以 ‎ 根据正弦函数的图象可以看出，无最小值,有最大值，‎ 此时，即,所以 所以为等边三角形…………………………12分 ‎17. （本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，与交于点且平面 平面为棱上一点.‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）若求证：平面 ‎ ‎（1）因为平面底面，‎ 平面底面， ‎ ‎， ‎ 平面，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，‎ 所以．……………………7分 ‎（2）因为，，与交于，‎ 所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以，又因为平面，平面，‎ 所以平面．……………………14分 ‎17. （本小题满分14分）‎ A B C D E F M N G 第17题图 ‎ 某小区想利用一矩形空地建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一直线交于，从而得到五边形的市民健身广场，设．‎ ‎（1）将五边形的面积表示为的函数；‎ ‎（2）当为何值时，市民健身广场的面积最大？并 求出最大面积．‎ ‎（1）作GH⊥EF，垂足为H，‎ 因为，所以，因为 所以，所以 ………………2分 过作交于T，‎ 则，‎ 所以 ‎ ‎ …………………、……………7分 由于与重合时，适合条件，故,………、……8分 ‎（2），…………10分 ‎ 所以当且仅当，即时，取得最大值2000，…13分 所以当时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为．………14分 ‎18. （本小题满分16分）‎ 已知两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点满足.‎ ‎（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；‎ ‎（II）一条纵截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；‎ ‎（III）直线与曲线C交于A、B两点，，试问：当t变化时，是否存在一直线，使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由 解: (Ⅰ) 因为 即 所以 所以 又因为,所以 即:,即 所以椭圆的标准方程为…………………………4分 ‎ (Ⅱ) 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为 联立直线和椭圆方程 得: ‎ 由,得 设 则 (1)‎ 以直径的圆恰过原点 所以,‎ 即 也即 即 将(1)式代入,得 即 解得,满足（*）式，所以…………………………………8分 ‎(Ⅲ)由方程组,得 设,则 所以 因为直线过点 所以的面积 ‎,则不成立 不存在直线满足题意……………………………………13分 ‎19．（本题满分16分）‎ 已知各项均为正数的两个无穷数列、满足．‎ ‎（Ⅰ）当数列是常数列（各项都相等的数列），且时，求数列通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 设、都是公差不为0的等差数列，求证：数列有无穷多个，而数列惟一确定；‎ ‎（Ⅲ）设，，求证：．‎ 解：（1）因为数列是常数列，且，‎ 所以…①，‎ 因此…②，‎ ‎①-②得，……………2分 这说明数列的序号为奇数的项及序号为偶数的项均按原顺序构成公差为2的等差数列，‎ 又，，所以，‎ 因此，，‎ 即. …………………………………4分 ‎（2）设，的公差分别为，‎ 将其通项公式代入 得，它是n的恒等式，所以解得因此……………7分 由于可以取无穷多非零的实数，故数列有无穷多个，数列惟一确定.……8分 ‎（3）因为，且，‎ 所以，即，………………………10分 所以，得，‎ 因此．‎ 又由得，而，所以．‎ 因此，…………14分 所以．所以．……………………………16分 ‎20.（本小题满分16分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）当时，求函数的极大值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）当时，设函数，若实数满足：且 ‎，，求证：．‎ 解：函数的定义域为．‎ ‎ （1）当时，，，令得． ………1分 列表：‎ x ‎+‎ ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ↗‎ 极大值 ‎ ↘‎ ‎ 所以的极大值为． …………………………………………3分 ‎ (2) ．‎ 令，得，记． ‎ ‎ （ⅰ）当时，，所以单调减区间为； …………5分 ‎ （ⅱ）当时，由得，‎ ‎ ①若，则，‎ 由，得，；由，得．‎ ‎ 所以，的单调减区间为，，单调增区间为； …………………………………………………………7分 ‎②若，由（1）知单调增区间为，单调减区间为； ‎ ‎ ③若，则，‎ ‎ 由，得；由，得．‎ ‎ 的单调减区间为，单调增区间为． ……9分 综上所述：当时，的单调减区间为；‎ ‎ 当时，的单调减区间为，，单调增区间为；‎ ‎ 当时，单调减区间为，单调增区间为． ………………………………………………………10分 ‎ （3）（）．‎ ‎ 由得．‎ ‎∵， ∴(舍)，或． ‎ ‎∵，∴． …………………………………12分 由得， ‎ 因为，‎ 所以（*）式可化为，‎ 即． ………………………………………………14分 令，则，整理，得，‎ 从而，即． ‎ 记．，令得（舍），，列表：‎ ‎+‎ ‎ ↘‎ ‎↗‎ 所以，在单调减，在单调增，又因为，所以，从而． ………………………………………………16分 第Ⅱ卷(附加题 40分)‎ ‎21.已知曲线，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线，在矩阵N对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程．‎ 解：设A=NM，则A， ………………3分 设是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线上的对应的点为，‎ 则 ， 即∴ ………………7分 又点在曲线上，∴ ，即．……………10分 ‎22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）写出直线与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点且平行于直线的直线与曲线交于两点，若，求点轨迹的直角坐标方程.‎ ‎【解析】（1）直线，曲线.‎ ‎（2）设点及过点的直线为（为参数）.‎ 由直线与曲线相交可得：，‎ ‎，即：，‎ 表示一椭圆，‎ 取代入，得：，‎ 由得，‎ 故点的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段弧.‎ ‎23.某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，.经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为，第二道工序检查合格的概率为，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器.‎ ‎（I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；‎ ‎（II）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为，求的分布列和每月的盈利期望.‎ 解: (Ⅰ) 设恰有两台仪器完全合格的事件为,每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为 ‎…………………………………2分 所以…………………5分 ‎(Ⅱ) 每月生产的仪器完全合格的台数可为四种 所以赢利额的数额可以为……………………7分 当时,‎ 当时,‎ 当时,‎ 当时,………………………………10分 每月的盈利期望 所以每月的盈利期望值为万元……………12分 ‎24．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 如图，已知定点R(0，－3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且．‎ ‎（1）求动点M的轨迹C1；‎ ‎（2）圆C2： ，过点(0，1)的直线l依次交C1于A，D两点（从左到右），交C2于B，C两点（从左到右），求证：为定值．‎ ‎（1）法一：设M(x，y)，P(x1，0)，Q(0，y2)，则由及R(0，－3)，得 化简，得． ……………………4分 所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ……………………5分 法二：设M(x，y)．‎ 由，得 ．‎ 所以，．‎ 由，得 ，即．化简得 ．……4分 所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线． …………………5分 ‎（2）证明：由题意，得 ，⊙C2的圆心即为抛物线C1的焦点F．‎ 设，，则． ……………………7分 同理 ．‎ 设直线的方程为 ．‎ 由得，即．‎ 所以，． ……………………………………10分