河北武邑中学2018—2019学年上学期高三开学摸底考试
理 科 数 学
本试卷共5页，23题(含选考题)．全卷满分150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，集合，则
A． B． C． D．
2．欧拉公式 (i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3．对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则
的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文
章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式中的系数为（ ）
A．-160 B．320 C．480 D．640
6．某几何体的三视图如图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
7．的展开式中的常数项是（ ）
A．-5 B．7 C．-11 D．13
8．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（ ）
A. B. C. D.
12．已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数，满足约束条件，则的最大值____．
14．如图，在平面直角坐标系中，函数，的图像与轴的交点，，满足，则________．
15．已知三棱锥的外接球的球心为，平面
，则球心到平面的距离为 .
16．已知的三边分别为，， ，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一） 必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
18. （本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分
初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．
（1）求获得复赛资格的人数；
（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?
（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望．
19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值．
20．已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线，交轴于点.
（1）判断的形状；
（2） 若两点在抛物线上，点满足，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆与抛物线在点处的有相同的切线，求点的坐标.
21．（本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值.
（Ⅱ）若设求证：有两个不同的零点，且.（为自然对数的底数）
（一） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：．
（1）将曲线的参数方程与直线的极坐标方程化为普通方程；
（2）是曲线上一动点，求到直线的距离的最大值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值
高三理科数学参考答案
1-5 BBDCB 6-10 ACABC 11-12 BD
13、 2 14、 15、 16、 (12,24]
17．（12分）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得，
即有，·······3分
因为，∴．又，∴．
又，∴，∴，·······6分
（2）由余弦定理，有．
因为，，·······9分
有，又，于是有，即有．·······12分
18． （12分）
【答案】（1）20；（2）5，2；（3）见解析．
【解析】（1）由题意知之间的频率为：
，···········2分
，
∴获得参赛资格的人数为···········4分
（2）在区间与，，
在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人
分在区间与各抽取5人，2人．结果是5，2．···········6分
（3）的可能取值为0，1，2，则：···········7分
；···········8分
；···········9分
；···········10分
故的分布列为：
0
1
2
19. 【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）在直三棱柱中，
又，平面，，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面．·····5分
（2）由（1）可知，
以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立坐标系．设，，，，，，，，，·····6分
直线的方向向量，平面的法向量，
可知，∴，·····8分
，，，
设平面的法向量，
∴，∴，·····10分
设平面的法向量，
∴，∴，·····11分
记二面角的平面角为，，
∴，
∴二面角的平面角的正弦值为．·····12分
20.解析：（1）设，∵，∴，
则切线的方程为，即，
∴，∵，∴
所以为等腰三角形
（2）设，∵，∴是的中点，∴
∵在抛物线上∴，∴或
∴两点的坐标为，设，则
由①②得圆心
由，得，∴或∵，∴
∴点的坐标为
21（12分）
解：（Ⅰ）设切点
又切点在函数上，即
…………… 4分
（Ⅱ）证明:不妨设，，所以在上单调递减，
又，
所以必存在，使得，即
. …………… 6分
①当时，，
所以在区间上单调递减，
注意到，
所以函数在区间上存在零点，且. ………… 9分
②当时, 所以在区间上单调递增，
又，
且，
所以在区间上必存在零点，且.
综上，有两个不同的零点、，且
. ……………… 12分
22. 【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）将曲线的参数方程（为参数）化为普通方程为，·······3分
直线的极坐标方程为：，化为普通方程为．······5分
（2）设到直线的距离为，
，·······7分
∴到直线的距离的最大值为．·······10分
23.（10分）
解：（1）
所以等价于或或
解得或，所以不等式的解集为或
（2）由（1）可知，当时，取得最小值，
所以，即
由柯西不等式，
整理得，当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为.
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