文科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）.
1.若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知是虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
3.从1，3，5，7这四个数中随机取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4.椭圆的右焦点到直线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
5.若点在直线上，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
6.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问：每等人比下等人多得几斤？”（ ）
A． B． C． D．
7.函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8.已知，若，则等于（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）
A．1007 B．2015 C．2016 D．3024
10.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最和的棱长等于（ ）
A．6 B． C．4 D．8
12.定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，若，则___________．
14.已知变量满足约束条件，则的最大值为___________．
15.已知直三棱柱中，，侧面的面积为4，则直三棱柱外接球的半径的最小值为__________．
16.已知函数且，在各项为正的数列中，的前项和为，若，则____________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知向量，设．
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）在中，分别为内角的对边，且，求的面积．
18.2016年1月19日，习近平主席开启对沙特、埃及、伊朗为期5天的国事访问，某校高二文科一班主任为了解同学们对此事关注情况，在该班进行了一次调查，发现在全班50名同学中，对此事关注的同学有30名，该班在本学期期末考试中政治成绩（满分100分）的茎叶图如下：
（1）求“对此事不关注者”的政治期末考试成绩的中位数与平均数；
（2）若成绩不低于60分记为“及格”，从“对此事不关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为，从“对此事关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为，求的值；
（3）若成绩不低于80分记为“优秀”，请以政治成绩 是否优秀为分类变更．
①补充下面的列联表：
政治成绩优秀
政治成绩不优秀
合计
对此事关注者（单位：人）
对此事不关注者（单位：人）
合计
②是否有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系？
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中．
19.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，为与的交点，为棱上一点．
（1）证明 ：平面平面；
（2）若是中点，求点平面的距离．
20.如图，已知为原点，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的右侧），且，椭圆过点，且焦距等于．
（1）求圆和椭圆的方程；
（2）若过点斜率不为零的直线与椭圆交于两点，求证：直线与直线的倾角互补．
21.已知函数．
（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是圆上的两点，为圆外一点，连结分别交圆于点，且，连结并延长至，使．
（1）求证：；
（2）若，且，求．
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-3．
（1）求整数的值；
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13. -3 14. 11 15. 16. 6
三、解答题
17．解：（1），
由 可得，，
由得，
.
18．解：（1）“对此事不关注者”的20名同学，成绩从低到高依次为：
42，46，50，52，53，56，61，61，63，64，66，66，72，72，76，82，82，86，90，94，
中位数为，
平均数为
.
（2）由条件可得，所以.
（3）①补充的列联表如下：
政治成绩优秀
政治成绩不优秀
合计
对此事关注者（单位：人）
12
18
30
对此事不关注者（单位：人）
5
15
20
合计
17
33
50
②由列联表可得
，
所以，没有90%以上的把握认为“此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系．
19．证明:(1)平面,
平面,.
四边形是菱形,
,又,
平面.而平面,平面⊥平面.
（2） 是中点，连结，则，
平面，且.
，
设点平面的距离为，
20．解：（1）设圆的半径为,由题意,圆心为,
∵,∴,．
故圆的方程为．
令,解得或,所以．
由得．
∴椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为,由得
， ①
设,则． 因为
， 所以．
当或时,,此时方程①,,不合题意.
∴直线与直线的倾斜角互补．
21．解：（1）函数的定义域为
当时，，
；
当,有；当，有，
∴在区间 [，1]上是增函数，在 [1，e]上为减函数，
又，，
∴，.
（2），则的定义域为.
.
①若，令，得极值点，，
当，即时，在上有，在上有，
在上有，此时在区间上是增函数，
并且在该区间上有不合题意；
当，即时，同理可知，在区间上，
有也不合题意；
② 若，则有，此时在区间上恒有，
从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，
由此求得的范围是.
综合①②可知，当时，对，恒成立.
22．解：
（1）连结，因为，又因为，
所以，所以，由已知，
所以，且，所以，所以．
（2）因为，所以，则，
所以，
又因为，所以，
所以，所以．
23．解：（1）圆的普通方程为，又，所以圆的极坐标方程为；（2）设为点的极坐标，则有，解得，设为点的极坐标，，解得，由于，所以，所以线段的长为2．
24.解：（1）由，即，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∵不等式的整数解为-3，则，解得．
又不等式仅有一个整数解-3，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）因为的图象恒在函数的上方，故，
所以对任意恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
设，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
则在是减函数，在上是增函数，所以当时，取得最小值4，
故时，函数的图象恒在函数的上方，
即实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
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