嘉定区2016年高三第三次模拟练习
数学（文）试卷
考生注意：
1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．
2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚．
一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的定义域是___________．
2．已知向量，，若，则实数_________．
3．若函数（）是上的偶函数，则________．
4．设集合，，若，则实数_______．
5．已知（，为虚数单位），则_________．
6．一个总体分为、两层，其个体数之比为，用分层抽样的方法从总体中抽取一个
容量为的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中个体的个数为___．
7．当实数、满足不等式组时，目标函数的最大值为_________．
8．某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为4的正方
形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于_____________．
9．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________．
10．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若
，则实数的取值范围是_________________．
11．已知直线：（，，…）与轴、轴的交点分别为、
，为坐标原点，设△的面积为（，，…），则_______．
12．已知是递增的等比数列，且，那么首项的取值范围是_______．
13．小李同学在研究长方体时发现空间有一条直线与长方体的所有棱所在直线所成的角都相
等，那么这个角的大小是__________．
14．在数列中，，，则数列的前项之和为_______．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．
15．在△中，“”是“△为钝角三角形”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2
2
2
主视图
左视图
俯视图
16．某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图中的
曲线是半径为的圆弧，则该几何体的体积为（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
17．过坐标原点作单位圆的两条互相垂直的半径、，若在该圆上存在
一点，使得（），则点的位置是（ ）．
（A）点一定在单位圆内 （B）点一定在单位圆上
（C）点一定在单位圆外 （D）当且仅当时，点在单位圆上
18．已知函数的图像关于点对称，则点的坐标是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱．
（1）用表示此圆柱的侧面积表达式；
·
x
（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
O
A
B
C
D
x
y
如图所示，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记，．
（1）若，求的值；
（2）分别过点、作轴的垂线，垂足依次
为、．记△的面积为，△的面积
为，若，求角的值．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
O
x
y
B
A
P
M
Q
·
如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线（）的准线的距离为，点（）是上的定点，、是上的两个动点，且线段的中点在线段上．
（1）抛物线的方程及的值；
（2）当点、分别在第一、四象限时，求的
取值范围；
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
设数列的前项和为，对于任意的，都有（）．
（1）求数列的首项及数列的递推关系式；
（2）若数列成等比数列，求常数的值，并求数列的通项公式；；
（3）数列中是否存在三项，，（），它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知是定义在上的函数，满足．
（1）证明：是函数的周期；
（2）当时，，求在时的解析式，并写出在（）时的解析式；
（3）对于（2）中的函数，若关于的方程恰好有个解，求实数的取值范围．
2016年三模数学（文）参考答案和评分标准
一．填空题（每题4分，满分56分）
1． 2．或 3． 4． 5． 6． 7．
8． 9． 10． 11． 12．
13． 14．
二．选择题（每题5分，满分20分）
15．A 16．D 17．B 18．C
三．解答题（共5题，满分74分）
19．（1）设圆柱的半径为，则，， …………（2分）
所以，（）．（的范围两处都不写扣1分）（5分）
（2）， ………………………………（2分）
所以当时，取最大值， …………………………………（4分）
此时，，所以． …………………………………（7分）
20．（1）由三角比定义，得，． ………………（1分）
因为，，所以， ……………（3分）
所以． ……………（6分）
（2）依题意得，．所以； ………………………………（2分）
．……（4分）
由，得，整理得． …………（6分）
因为，所以，所以，即． …………（8分）
21．（1）抛物线（）的准线是，
所以，， ……………………………………（4分）
所以抛物线的方程为． ………………………………………（5分）
又点在曲线上，所以． ………………………………………（6分）
（2）由（1）知，，直线的方程为，故，
即点． ……………………………………………………………（1分）
由题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，
由消去，得，设，，
则，，因为，所以，，…（3分）
由，得， ………………………………（5分）
所以，
因为，所以的取值范围是，故的取值范围是． ……………………………………………………………（8分）
22．（1）令，则，所以． ……………………（1分）
由 ①，得 ②， …………………（2分）
②式减①式，得， ……………………………（3分）
故数列的递推关系式为． ………………………………（4分）
（2）由（1）知，，则，…（1分）
由题意，故当，且时，数列是等比数列，
所以当时，数列成等比数列． ……………………………………（3分）
此时，．故，即，．……（5分）
综上，，的通项公式为，． ……………………（6分）
（3）假设，，（）成等差数列，则， …………（1分）
即，所以， ……………（2分）
从而，， …………………………………………（4分）
因为且，故为偶数，而为奇数．
所以，不可能成立，即不存在满足条件的三项． ……………（6分）
23．（1）因为，
所以， …………………………（3分）
所以，是函数的周期． …………………………………………………（4分）
（2）当时，，则， …………………（1分）
又，即，解得．
所以，当时，． …………………………………（3分）
所以， ……………………………………（4分）
因为的周期为，所以当（）时，
…………………………………（6分）
（3）作出函数的图像，则方程解的个数就是函数的图像与直线的交点个数． ………………………………………………………………（3分）
若，则（）都是方程的解，不合题意． ……………………（4分）
若，则是方程的解．要使方程恰好有个解，在区间上，有个周期，每个周期有个解，在区间上有且仅有一个解．
则解得，． …………………………………………（6分）
若，同理可得． …………………………………………（7分）
综上，． …………………………………………（8分）
微信/支付宝扫码支付