嘉定区2016年高三第三次模拟练习
数学（理）试卷
考生注意：
1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．
2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚．
一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的定义域是___________．
2．已知向量，，若，则实数_________．
3．若函数（）是上的偶函数，则________．
4．设集合，，若，则实数_______．
5．设，为虚数单位，且，则______．
6．一个总体分为、两层，其个体数之比为，用分层抽样的方法从总体中抽取一个
容量为的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中个体的个数为___．
7．在极坐标系中，曲线与极轴的交点到极点的距离为____________．
8．某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为4的正方
形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于_____________．
9．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________．
10．已知直线：（，，…）与轴、轴的交点分别为、
，为坐标原点，设△的面积为（，，…），则_______．
11．已知函数 则不等式的解集为______．
12．已知是递增的等比数列，且，那么首项的取值范围是_______．
13．小李同学在研究长方体时发现空间有一条直线与长方体的所有棱所在直线所成的角都相
等，那么这个角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）．
14．在数列中，，，则数列的前项之和为_______．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．
15．在△中，“”是“△为钝角三角形”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
16．过坐标原点作单位圆的两条互相垂直的半径、，若在该圆上存在
一点，使得（），则点的位置是（ ）．
（A）点一定在单位圆内 （B）点一定在单位圆上
（C）点一定在单位圆外 （D）当且仅当时，点在单位圆上
17．如图，一个底面半径为的圆柱被与底面成二面角的平面所截，截面是一个椭圆，
则该椭圆的焦距是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
18．已知函数的图像关于点对称，则点的坐标是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
O
A
B
C
D
x
y
如图所示，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记，．
（1）若，求的值；
（2）分别过点、作轴的垂线，垂足依次
为、．记△的面积为，△的面积
为，若，求角的值．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知是底面边长为的正四棱柱，是和的交点．
（1）若正四棱柱的高与底面边长相等，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O1
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
x
P
O
A
B
y
如图，已知直线与抛物线（）交于、两点，为坐标原点，．
（1）求直线的方程和抛物线的方程；
（2）若抛物线上一动点从到运动时（不与
、重合），求△面积的最大值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知数列中，，前项和为，且．
（1）求，的值；
（2）证明：数列是等差数列，并写出其通项公式；
（3）设（），试问是否存在正整数，（其中，使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数，，函数，记．把函数的最大值称为函数的“线性拟合度”．
（1）设函数，，，求此时函数的“线性拟合度”；
（2）若函数，的值域为（），，
求证：；
（3）设，，求的值，使得函数的“线性拟合度”最小，并求出的最小值．
2016年三模数学（理）参考答案和评分标准
一．填空题（每题4分，满分56分）
1． 2．或 3． 4． 5． 6． 7．
8． 9． 10． 11． 12．
13． 14．
二．选择题（每题5分，满分20分）
15．A 16．B 17．D 18．C
三．解答题（共5题，满分74分）
19．（1）由三角比定义，得，． ………………（1分）
因为，，所以， ……………（3分）
所以． ……………（5分）
（2）依题意得，．所以； ………………………………（2分）
．……（4分）
由，得，整理得． …………（5分）
因为，所以，所以，即． …………（7分）
20．（1）由题意，正四棱柱是棱长为的正方体，…………（1分）
连结，因为，为的中点，所以， …………（2分）
又，所以是二面角的平面角． ………………（3分）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O1
x
y
z
因为平面，所以， ………………………（４分）
所以，． ………………（５分）
所以，二面角的大小为．……（６分）
（2）设正四棱柱的高为．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，． ………………（２分）
设平面 一个法向量为，
由得即
取，得， ………………………………………………（５分）
所以，点以平面的距离为，
解得． …………………………………………………………（７分）
所以，正四棱柱的高为． ………………………（８分）
21．（1）设，，
由得，由题意，，，
所以， ……………………………………………………（2分）
由，得，
即，故，． ………………………………（5分）
所以，直线的方程为，抛物线的方程为． ………（6分）
（2）由得，，，
所以
， …………………………（3分）
设（），
因为为定值，所以当点到直线的距离最大时，△的面积取最大值．
， ………………（5分）
因为，所以当时，． ………（6分）
所以，当点坐标为时，△的面积取最大值，
且． ………………（8分）
22．（1）令，则， ………………………………（2分）
令，则，． ………………………………（4分）
（2）由，即 ① ，又 ②，
②式减①式，得 ③， ………………………………（2分）
于是 ④，
③、④两式相加，得， ………………………………（3分）
所以，即，
所以，数列是等差数列． ………………………………………………（5分）
又，，所以公差，所以的通项公式为．……（6分）
（3）由（2）和，知，假设存在正整数数组（），使得，，成等比数列，则， ……………………………………（2分）
于是，所以 （*）， ……………………………（3分）
当时，，，．
所以是方程（*）的一组解． ……………………………（4分）
当且时，因为，即单调递减，
所以，此时方程（*）无正整数解． ………………（5分）
综上，满足题设的数对有且只有一个，为． ……………………（6分）
23．（1），当时，，
所以，则在时单调递减，
在时单调递增． ……………………………………（2分）
又，，所以函数对于函数的“线性拟合度”．（4分）
(2) 根据定义，，又，
所以，， …………………………………………（2分）
于是． …………………………………………（3分）
因为
所以， ………………………………………（5分）
所以，即． ………………………………………（6分）
（另证：，所以）
（3）,，，
考虑函数，的值域：
① 当时，在时单调递增，，
由（2）知，； ……………………（4分）
② 当时，，，
当，即时，在时单调递增，，
由（2）知，； …………………………（4分）
当，即时，，
由（2）知，，当且仅当时取等号； ………………（5分）
当，即时，，
由（2）知，； …………………………（6分）
当，即时，在时单调递减，，
由（2）知，． ………………………………（7分）
综上，当且仅当时，． ………………………………（8分）
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