数学试题（文科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本题包括10小题,每小题5分,共50分.每小题只有一个选项符合题意.
1. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.设，则（ ）
A． B． C． D．
4.若向量、满足，，则向量与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
5.从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（ ）
A．78 B．76 C．74 D．72
6.已知函数，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
7. “”是“对于任意的实数，直线与圆都有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
9. 已知双曲线的离心率，点是抛物线上的一动点，点到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10. 若关于的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11.若实数满足约束条件，则的最大值为___________.
12. 执行如图所示的程序框图，输出的值为____________.
13.在棱长为3的正方体内随机取点，则点到正方体各顶点的距离都大于1的概率为___________.
14. 已知的三个内角的对边分别为，且，，，则的值为_________.
15.已知正数满足，则的最小值为___________.
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分）
盒中有6个小球，3个白球，记为，2个红球，记为，1个黑球，记为，除了颜色和编号外，球没有任何区别.
（1）求从盒中取一球是红球的概率；
（2）从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率.
17.（本小题满分12分）
已知的面积为3，且满足，设和夹角为.
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最大值与最小值.
18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，是正三角形，点分别是棱，,的中点.
（1）求证：；
（2）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论.
19.（本小题满分12分）
设等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项与前项和为；
（2）设数列满足（），试讨论数列中是否存在三项成等比数列，如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由.
20.（本小题满分13分）
平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，若椭圆上的点到两点的距离之和等于4.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点.
（i）求面积的最大值；
（ii）过两点分别作椭圆的切线与，求证：，的交点在定直线上.
21.（本小题满分12分）
已知函数（），其导函数为
（1）设，求在上的最小值；
（2）设，如果函数在上单调，求实数的取值范围；
（3）设，若存在，满足不等式，求实数的取值范围.
山东省实验中学2013级第二次模拟考试答案数学（文科）
（1）—（10） DBADC BACCA
（11） ；（12）；（13） ； （14）； （15）.
（16）解：(Ⅰ)所有基本事件为：共计个.
记“从盒中取一球是红球”为事件,事件包含的基本事件为：
∴.
∴从盒中取一球是红球的概率为. ...............................4分
(Ⅱ)记“两次取球”为事件A，“两次取球得分之和为分”为事件， 事件A包含的基本事件为：
，，，，，，
，，， ，，，
，，，，， ，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共计36个 ...............................8分
事件B包含的基本事件为：，，， 共计4个 .........10分
∴.
∴“两次取球得分之和为分”的概率为. ....................12分
（17）解(Ⅰ)由，，可得，又，
所以. ....................4分
(Ⅱ)
. ...........................8分
因为，所以，得，
故. ...................................10分
即当且仅当时，；当时，...................12分
(18) (Ⅰ)证明：因为直三棱柱，所以底面，因为平面，所以,
因为是正三角形，为棱的中点，所以
又因为，所以平面.................4分
因为平面，所以................5分
(Ⅱ)直线∥平面，证明如下：...............6分
如图，连接，，交于点，连.
因为四边形为矩形，所以为的中点.
又为的中点，所以∥.
因为点分别是棱的中点，所以∥，所以∥.
因为平面，平面，所以直线∥平面
................12分
（19）解：(Ⅰ)由已知得，解得
所以，. ..............4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.
假设数列中存在三项（，）成等比数列，则
，故
于是
由于，所以，消去，得，于是，这与矛盾
所以数列中任三项不成等比数列.............12分
（20）解：(Ⅰ)因为椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为.
由椭圆上的点到两焦点两点的距离之和等于，得，即.
又点在椭圆上，因此得.
所以椭圆的方程为.............4分
(Ⅱ) （i）方法1：设直线为，M(x1,y1)， N(x2,y2).
联立得.
则，，且△成立. ...............5分
...............6分
设，则. 令,,因为，所以，得在上单调递增.
所以，即................8分
综上所述，面积的最大值为................9分
方法2： ①当直线MN与x轴垂直时，方程为x=1，S△OMN= ；...............5分
②当直线MN不与x轴垂直时，设MN方程为， M(x1,y1)， N(x2,y2)
代入椭圆的方程得：
则y1+y2=， y1y2=，且△=................6分
=|y1-y2|= ......................7分
设 ，则，
记
，因为，所以，得在单调递增
所以，，即. ......................8分
综上所述，面积的最大值为. ......................9分
（ii）设、，则切线的方程分别为，，设两条切线的交点为，则，，所以直线MN方程为，因为直线MN过点，所以即，这就是所在的直线.所以的交点P在定直线上. ......................13分
（21）解：(Ⅰ)，...................1分
令，得，
当时，，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数取最小值，即............4分
(Ⅱ)
故当时，所以当时恒成立，此时函数在上单调递减
当时不恒大于0
综上............8分
（III）由已知条件，问题等价于时
①当时函数在区间上单调递减，则，故.
故存在唯一的使，当，当，于是函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以.
所以，得，这与矛盾
综上所述，实数的取值范围是............14分
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