数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题（本题包括10小题,每小题5分,共50分.每小题只有一个选项符合题意）
1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4.“”是“对于任意的实数，直线与圆都有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
6.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数是奇函数，则的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
7.若的展开式中的二项式系数之和为64，则该展开式中的系数是（ ）
A．15 B．-15 C．20 D．-20
8.设，若是的最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.已知双曲线的离心率，点是抛物线上的一动点，点到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10.若关于的不等式（为自然对数的底数）的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11.已知向量，，，若，则实数的值为____________.
12.执行如图所示的程序框图，输出的值为____________.
13.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为____________.
14.已知为坐标原点，，点满足约束条件，则的最大值是____________.
15.对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”.给出定义域为的四组函数如下：
① ②
③ ④
其中，曲线和存在“分渐近线”的有____________（填写序号）.
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的面积的最大值.
17.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，是的中点，
（1）求证：平面；
（2）已知是在线段上一点，设，若二面角的大小为，求的值.
18.（本小题满分12分）
盒中有大小相同的编号为1，2，3，4，5，6的六只小球，规定：摸一次需1元，从盒中摸出2只球，如果这2只球的编号均能被3整除，则获一等奖，奖金10元；如果这2只球的编号均为偶数，则获二等奖，奖金2元，其他情况均不获奖.
（1）若某人摸一次且获奖，求他获得一等奖的概率；
（2）若有2人参加摸球游戏，按规定每人摸一次，摸后放回，2人共获奖金元，求的分布列及期望.
19.（本小题满分12分）
设数列的前项和为，且.
（1）求、、的值，猜想并证明；
（2）设，求数列的前项和.
20.（本小题满分13分）
已知函数在点处的切线为.
（1）求函数的解析式；
（2）若，且存在，使得成立，求的最小值.
21.（本小题满分14分）
已知椭圆，为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由.
山东省实验中学2013级第二次模拟考试
数学答案(理科) 2016．6
1-10 ABCAC DADBD
11. 12． 13． 14. 15. ②④
（16）解：(Ⅰ)由 ，
由正弦定理得：， …………………………3分
由余弦定理得：,. …………………………6分
（Ⅱ）由，得， …………………………7分
又 ，，,所以，，…………………………10分
，
所以，面积的最大值. …………………………12分
17.解(1)连接，设与交于，
连接.由已知，，，
故四边形是平行四边形， F是的中点.
又因为是的中点，所以.………3分
因为平面，平面，
所以平面.……………4分
(2)
由于四边形是菱形，
是的中点， ,
所以为等边三角形，可得.
又是矩形，平面⊥平面，
所以⊥平面.
如图建立空间直角坐标系.………5分
则，， ，.，.……7分
设平面的法向量为.
则,所以
令.所以.………………9分
又平面的法向量,………………10分
所以.………………11分
即，解得.所以在线段上存在点，使二面角的大小为，此时的长为.………………12分.
18解：（1）设摸一次得一等奖为事件A，摸一次得二等奖为事件B，
则
某人摸一次且获奖为事件，显然A、B互斥，所以
故某人摸一次且获奖，他获得一等奖的概率为：
………………4分
（2）因为摸后放回，所以2人摸球是相互独立的
易知X的可能取值为0，2，4，10，12，20
X的分布列为
X
0
2
4
10
12
20
P（X）
期望（元）……12分
19.解：（Ⅰ）当时，
当时，
当时， ………………………1分
由此，猜测： ………………………3分
下面用数学归纳法证明：
（1）当时，结论显然成立；
（2）假设当时，；则当时，由条件，得
即当时，结论也成立.
于是，由（1），（2）可知，对任意的 ………………………6分
（Ⅱ）当
又
于是数列的通项公式为: ………………………8分
因
………………………9分
当n为奇数时，
当n为偶数时，
故…………12分
20．解（Ⅰ）的定义域为，，
． …………………………4分
（Ⅱ）可化为，
令，
，使得，则， …………………………5分
．
令，则， …………………………7分
在上为增函数．
又，
故存在唯一的使得，即． …………………………9分
当时，，，在上为减函数；
当时，，，在上为增函数．
，
．． …………………………12分
的最小值为5． …………………………13分
21解: (Ⅰ) 由题意，解得，
所求椭圆方程为 ……4分
(Ⅱ) 直线方程为，联立直线和椭圆的方程得:
得 …………5分
由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，
则，即: (*)
因为
则(*)变为 ………7分
由假设得对于任意的,恒成立，
即解得
因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为 ……10分
这时，
，设，
则
在上递减，故面积的最大值为 …………14分
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