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第 2 章 一元二次方程
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)
1．下列属于一元二次方程的是( )
A．3x＋2＝5x－3 B．x2＝4
C.
x－2
x＋1－1＝x2 D. x2－4＝(x＋2)2
2．方程(x－2)2＝27 最简便的解法是( )
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
3．下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A．x2－2x＋1＝0 B．2x2－x＋1＝0
C．4x2－2x－3＝0 D．x2－6x＝0
4．若关于 x 的一元二次方程 x2－x－m＝0 的一个根是 x＝1，则 m 的值是( )
A．1 B．0 C．－1 D．2
5．一元二次方程(x＋6)2＝16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x＋
6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝－4 B．x－6＝8
C．x－6＝4 D．x＋6＝－4
6．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降价的百
分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是( )
A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315 D．560(1－x2)＝315
7．一个等腰三角形的底边长是 6，腰长是一元二次方程 x2－7x＋12＝0 的一个根，则此
三角形的周长是( )
A．12 B．13 C．14 D．12 或 14
8．有两个一元二次方程 M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中 a·c≠0，a≠c.
下列四个结论中，错误的是( )
A．如果方程 M 有两个相等的实数根，那么方程 N 也有两个相等的实数根
B．如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同
C．如果 5 是方程 M 的一个根，那么
1
5是方程 N 的一个根
D．如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x＝1
二、填空题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)
9．一元二次方程(3x＋1)(x－3)＝2 化为一般形式是____________．
10．已知关于 x 的方程 x2－mx＋n＝0 的两个根是 x1＝0，x2＝－3，则 m＝________，n＝
________．
11．当 x＝________时，代数式 x2＋4x 与代数式 2x＋3 的值相等．
12．把一元二次方程 x2－4x＋3＝0 配方成(x＋a)2＝b 的形式，则 a＋b＝________．
13．已知关于 x 的方程 x2＋2x－m＝0 有实数解，那么 m 的取值范围是________．
14．已知 x＝1 是一元二次方程 x2 ＋ax＋b＝0 的一个根，则 a2 ＋2ab＋b2 的值为
________．
15．某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时
间等条件，赛程计划安排 2 天，每天安排 5 场比赛．设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x2
满足的方程为________．
16．对于实数 a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b＝a2－ab，例如 1※3＝12－
1×3.若 x※4＝0，则 x＝________.
三、解答题(本大题共 5 小题，共 52 分)
17．(15 分)用适当的方法解下列方程：
(1)3(x－1)2＝27； (2)6x2－x－12＝0；
(3)(4－x)(20＋3x)＝100.3
18.(7 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋x＋m2－2m＝0 有一个实数根为－1，求 m 的值
及方程的另一个实数根．
19．(10 分)关于 x 的一元二次方程 x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0 有两个不相等的实数根 x1，
x2.
(1)求实数 k 的取值范围；
(2)若方程的两个实数根 x1，x2 满足 x1＋x2＝－x1·x2，求 k 的值．
20．(10 分)一个矩形的周长为 56 厘米．
(1)当矩形的面积为 180 平方厘米时，矩形的长和宽分别为多少？
(2)能围成面积为 200 平方厘米的矩形吗？请说明理由．4
21．(10 分)小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次
性购买不超过 10 件，单价为 80 元/件；如果一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买
的所有服装的单价降低 2 元，但单价不得低于 50 元/件．按此优惠条件，小丽一次性购买这
种服装付了 1200 元．请问她购买了多少件这种服装？
5
1．B
2．A [解析] 等号左边是一个数的平方的形式，而等号右边是一个非负数，采用直接开
平方法解答比较简便．
3．A [解析]选项 A 中，∵Δ＝b2－4ac＝4－4＝0，∴方程 x2－2x＋1＝0 有两个相等的
实数根；选项 B 中，∵Δ＝b2－4ac＝1－4×2＜0，∴方程 2x2－x＋1＝0 无实数根；选项 C
中，∵Δ＝b2－4ac＝4＋4×4×3＝52＞0，
∴方程 4x2－2x－3＝0 有两个不相等的实数根；选项 D 中，∵Δ＝b2－4ac＝36＞0，
∴方程 x2－6x＝0 有两个不相等的实数根．故选 A.
4．B [解析] 把 x＝1 代入 x2－x－m＝0，得 1－1－m＝0，解得 m＝0.故选 B.
5．D [解析] 开方得 x＋6＝±4，∴另一个一元一次方程是 x＋6＝－4.故选 D.
6．B [解析] 每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格×(1－降价的百
分率)，则第一次降价后的价格是 560(1－x)元，第二次降价后的价格是 560(1－x)2 元，据此
即可列出方程．
7．C [解析] 由一元二次方程 x2－7x＋12＝0，得(x－3)(x－4)＝0，所以 x－3＝0 或 x
－4＝0，解得 x＝3 或 x＝4，所以等腰三角形的腰长是 3 或 4；①当等腰三角形的腰长是 3 时，
3＋3＝6，构不成三角形，所以不合题意，舍去；②当等腰三角形的腰长是 4 时，等腰三角形
的三边长为 4，4，6，能构成三角形，所以该等腰三角形的周长＝6＋4＋4＝14.故选 C.
8．D [解析]选项 A 中，如果方程 M 有两个相等的实数根，那么 Δ＝b2－4ac＝0，所以
方程 N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；选项 B 中，如果方程 M 的两根符号
相同，那么 Δ＝b2－4ac≥0，
c
a＞0，所以 a 与 c 符号相同，
a
c＞0，所以方程 N 的两根符号也
相同，结论正确，不符合题意；选项 C 中，如果 5 是方程 M 的一个根，那么 25a＋5b＋c＝0，
两边同时除以 25，得
1
25c＋
1
5b＋a＝0，所以
1
5是方程 N 的一个根，结论正确，不符合题意；选
项 D 中，如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么 ax2＋bx＋c＝cx2＋bx＋a，(a－c)x2＝a
－c，由 a≠c，得 x2＝1，x＝±1，结论错误，符合题意．故选 D.
9．3x2－8x－5＝0
10．－3 0 [解析] 根据题意，得{n＝0，
9＋3m＋n＝0，
解得{m＝－3，
n＝0.
11．－3 或 1 [解析] 由题意，得 x2＋4x＝2x＋3，解得 x1＝－3，x2＝1.
12．－1 [解析] x2－4x＝－3，x2－4x＋4＝1，(x－2)2＝1，所以 a＝－2，b＝1，所以
a＋b＝－2＋1＝－1.
13．m≥－1 [解析] 根据题意得 Δ＝b2－4ac＝4＋4m≥0，解得 m≥－1.
14．1 [解析] ∵x＝1 是一元二次方程 x2＋ax＋b＝0 的一个根，∴1＋a＋b＝0，∴a＋
b＝－1，∴a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝1.
15.
x（x－1）
2 ＝2×5
16． 0 或 4 [解析] ∵a※b＝a2－ab，∴x※4＝x2－4x＝0，解得 x＝0 或 x＝4，故答案
为 0 或 4.
17．(1)x1＝4，x2＝－2
(2)x1＝
3
2，x2＝－
4
36
(3)方程无实数根
18．解：设方程的另一个实数根为 x2，则
－1＋x2＝－1，解得 x2＝0.
把 x＝－1 代入 x2＋x＋m2－2m＝0，得
(－1)2＋(－1)＋m2－2m＝0，
即 m(m－2)＝0，
解得 m1＝0，m2＝2.
综上所述，m 的值是 0 或 2，方程的另一个实数根是 0.
19．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k－3>0，解得 k>
3
4.
(2)由一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝－(2k＋1)，x1·x2＝k2＋1.
∵x1＋x2＝－x1·x2，
∴－(2k＋1)＝－(k2＋1)，
解得 k＝0 或 k＝2.
又∵k>
3
4，∴k＝2.
20．解：(1)设矩形的长为 x 厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意有
x(28－x)＝180，
解得 x1＝10(不合题意，舍去)，x2＝18，
28－x＝28－18＝10.
故矩形的长为 18 厘米，宽为 10 厘米．
(2)不能．理由如下：
设矩形的长为 x 厘米，则宽为(28－x)厘米．假设能围成，则 x(28－x)＝200，
即 x2－28x＋200＝0，
则 Δ＝b2－4ac＝282－4×200＝784－800＜0，
∴原方程无实数根，
故不能围成一个面积为 200 平方厘米的矩形．
21．[解析] 根据一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买的所有服装的单价降低 2
元，表示出每件服装的单价，进而列出方程求解即可．
解：设她购买了 x 件这种服装，
∵80×10＝800(元)50 元，符合题意．
答：她购买了 20 件这种服装．
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