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21.2.4 解一元二次方程-因式分解法
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共 11 小题）
1．一元二次方程（x+3）（x﹣7）=0 的两个根是（ ）
A．x1=3，x2=﹣7 B．x1=3，x2=7 C．x1=﹣3，x2=7 D．x1=﹣3，x2=﹣7
2．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．（2x﹣2）（3x﹣4）=0，∴2﹣2x=0 或 3x﹣4=0
B．（x+3）（x﹣1）=1，∴x+3=0 或 x﹣1=1
C．（x﹣2）（x﹣3）=2×3，∴x﹣2=2 或 x﹣3=3
D．x（x+2）=0，∴x+2=0
3．一元二次方程 x（x﹣1）=0 的解是（ ）
A．x=0 B．x=1 C．x=0 或 x=﹣1 D．x=0 或 x=1
4．若 2x2+1 与 4x2﹣2x﹣5 的值互为相反数，则 x 的值是（ ）
A．﹣1 或 B．1 或﹣ C．1 或﹣ D．1 或
5．方程 x（x﹣2）+x﹣2=0 的解是（ ）
A．x1=0，x2=0 B．x1=﹣1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=2 D．x1=0，x2=﹣2
6．方程（x﹣2）（x﹣4）=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8 或 10
7．方程（x﹣2）2=x﹣2 的解是（ ）
A．x1=2，x2=3 B．x1=2，x2=1 C．x=2 D．x=3
8．一元二次方程 3x2﹣x=0 的解是（ ）
A．x= B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2= D．x=0
9．三角形两边长分别为 4 和 6，第三边是方程 x2﹣13x+36=0 的根，则三角形的周长为（ ）
A．14 B．18 C．19 D．14 或 19
10．方程 3（x﹣5）2=2（5﹣x）的解是（ ）
A． B．x1=5，x2= C．x1=5，x2= D．x1=4，x2=﹣
11．一元二次方程 x（x﹣2）=2﹣x 的根是（ ）2
A．﹣1 B．﹣1 和 2 C．1 和 2 D．2
二．填空题（共 7 小题）
12．一元二次方程 x2﹣x=0 的根是 ．
13．方程 x2=2x 的根为 ．
14．方程 x（x﹣1）=0 的解是： ．
15．已知 3、a、4、b、5 这五个数据，其中 a、b 是方程 x2﹣3x+2=0 的两个根，则这五个数
据的方差是 ．
16．已知 x（x+1）=x+1，则 x= ．
17．方程 x2﹣9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长
为 ．
18．若代数式 x2﹣10x 和 9x﹣18 的值相等，则 x 的值是 ．
三．解答题（共 4 小题）
19．解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
20．解方程：
（1）3（x﹣1）2=x（x﹣1）
（2）x2+1=3x．
21．选用适当的方法，解下列方程：
（1）2x（x﹣2）=x﹣3．
3
（2）（x﹣2）2=3x﹣6．
22．在方程 x2﹣3x=0 中，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为 2 的方程叫做一
元二次方程，把方程左边因式分解得到 x（x﹣3）=0，根据“任何数与 0 相乘都得 0”，我
们可知“两个因式中只要有一个因式的值为 0，乘积就为 0，”即方程可以转化为：x=0 或
x﹣3=0，解这两个一次方程得：x=0 或 x=3．所以原方程的解有两个，分别为：x=0 或
x=3．
上述将方程 x2﹣3x=0 转化为 x=0 或 x﹣3=0 的过程，是将来学习的一元二次方程的解法中，
通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．
规范书写如下：
解：x2﹣3x=0
x（x﹣3）=0
x=0 或 x﹣3=0
∴x=0 或 x=3
仿照上面的方法和规范，解决下列问题：
（1）解方程 9x2﹣4=0
（2）解方程 a2﹣2a﹣3=0；
类比上面的思路，解决下列问题．
（3）根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，请你直接写出一元二次不等式 a2﹣2a﹣3＞
0 的解集．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共 11 小题）
1．
解：
∵（x+3）（x﹣7）=0，
∴x+3=0 或 x﹣7=0，
∴x1=﹣3，x2=7，
故选：C．
2．
解：用因式分解法时，方程的右边为 0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、
第三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是 x=0，x+2=0．
所以第一个正确．
故选：A．
3．
解：方程 x（x﹣1）=0，
可得 x=0 或 x﹣1=0，
解得：x=0 或 x=1．
故选：D．
4．
解：∵2x2+1 与 4x2﹣2x﹣5 的值互为相反数，
∴2x2+1+4x2﹣2x﹣5=0，
则 3x2﹣x﹣2=0，
（x﹣1）（3x+2）=0，5
解得：x1=1，x2=﹣ ．
故选：B．
5．
解：（x﹣2）（x+1）=0，
x﹣2=0 或 x+1=0，
所以 x1=2，x2=﹣1．
故选：C．
6．
解：∵（x﹣2）（x﹣4）=0，
∴x﹣2=0 或 x﹣4=0，
∴x1=2，x2=4，
∵当 2 为腰，4 为底时，2+2=4，不符合三角形三边的关系，
∴等腰三角形的底为 2，腰为 4，
∴这个等腰三角形的周长=2+4+4=10．
故选：C．
7．
解：移项得：（x﹣2）2=x﹣2，
（x﹣2）2﹣（x﹣2）=0，
（x﹣2）（x﹣2﹣1）=0，
x﹣2=0，x﹣2﹣1=0，
x1=2，x2=3，
故选：A．
8．
解：
∵3x2﹣x=0，6
∴x（3x﹣1）=0，
∴x=0 或 3x﹣1=0，
∴x1=0，x2= ，
故选：C．
9．
解：（x﹣4）（x﹣9）=0，
x﹣4=0 或 x﹣9=0，
所以 x1=4，x2=9，
即三角形的第三边长为 4 或 9，
所以三角形的周长为 4+6+4=14 或 4+6+9=19．
故选：D．
10．
解：3（x﹣5）2=2（5﹣x），
移项得：3（x﹣5）2+2（x﹣5）=0，
分解因式得：（x﹣5）（3x﹣15+2）=0，
∴x﹣5=0，3x﹣15+2=0，
解方程得：x1=5，x2= ，
故选：B．
11．
解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，
（x﹣2）（x+1）=0，
x﹣2=0 或 x+1=0，
所以 x1=2，x2=﹣1．
故选：B．
二．填空题（共 7 小题）7
12．
解：方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得 x=0 或 x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为：x1=0，x2=1．
13．
解：x2=2x，
x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，或 x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2．
14．
解：依题意得：
x=0 或 x﹣1=0
∴x=0 或 x=1
故本题的答案是 x=0 或 x=1．
15．
解：（x﹣1）（x﹣2）=0，
∴x﹣1=0，x﹣2=0，
解得 x1=1，x2=2．
所以这组数据是：1，2，3，4，5．
= （1+2+3+4+5）=3，
s2= [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]，
= ×（4+1+0+1+4），
=2．8
故答案为：2．
16．
解：x（x+1）﹣（x+1）=0，
（x+1）（x﹣1）=0，
x+1=0 或 x﹣1=0，
所以 x1=﹣1，x2=1．
故答案为 1 或﹣1．
17．
解：x2﹣9x+18=0，
（x﹣3）（x﹣6）=0，
所以 x1=3，x2=6，
所以等腰三角形的底为 3，腰为 6，这个等腰三角形的周长为 3+6+6=15．
故答案为 15．
18．
解：∵代数式 x2﹣10x 和 9x﹣18 的值相等，
∴x2﹣10=9x﹣18，即 x2﹣19x+18=0，
∴（x﹣1）（x﹣18）=0，
解得：x1=1，x2=8．
故答案为：1 或 8．
三．解答题（共 4 小题）
19．
解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0 或 2﹣3x=0，9
解得：x1=3 或 x2= ．
20．
解：（1）方程整理，得
3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0
因式分解，得
（x﹣1）[3（x﹣1）﹣x]=0
于是，得
x﹣1=0 或 2x﹣3=0，
解得 x1=1，x2= ；
（2）方程整理，得
x2﹣3x+1=0
∵a=1，b=﹣3，c=1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，
∴x= = ，
即 x1= ，x2= ．
21．
解：（1）2x（x﹣2）=x﹣3
2x2﹣4x﹣x﹣3=0，
则 2x2﹣5x﹣3=0，
（x﹣1）（2x+3）=0，
解得：x1=1，x2= ；
（2）（x﹣2）2=3x﹣6
（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，
（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0，10
解得：x1=2，x2=5．
22．
解：（1）9x2﹣4=0，
（3x+2）（3x﹣2）=0，
3x+2=0，3x﹣2=0，
x1=﹣ ，x2= ；
（2）a2﹣2a﹣3=0，
（a﹣3）（a+1）=0，
a﹣3=0，a+1=0，
a1=3，a2=﹣1；
（3）a2﹣2a﹣3＞0，
（a﹣3）（a+1）＞0，
即 或 ，
解得：a＞3 或 a＜﹣1，
即原不等式的解集为 a＞3 或 a＜﹣1．
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