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19届（高三）上期入学摸底测试
数学（理科）试题
说明：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）满分150分，考试时间120 分钟。
2.将第I卷的答案代表字母填（涂）在第II卷的答题表（答题卡）中。
第I卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A={},B={},则满足条件集合
C的个数为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2.已知 ” ,则是
A. ” B. ”
C. ” D. ”
3.下列命题中正确命题的个数是
（1）对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系” 的把握越大。
（2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；
（3）在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；
（4）设随机变量服从正态分布N(0,1)
若，则.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天 多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？
A. 18 B. 20 C. 21 D. 25
5.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的一条棱长为
A. B. C. 4 D.
6.设是数列{}的前项和，且，，则
A. B. C.10 D.-10
7.设,则的展开式中常数项是
A. 332 B. -332 C. 320 D. -320
8.设,函数 ,则的值等于
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
9.现有一个不透明的口袋中装有标号为1，2，2，3的四个小球，他们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为
A. B. C. D.
10.已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时， ，如果关于的方程有解，记所有解的和为S，则S不可能为
A. B. C. D.
11.已知直线与双曲线相切于点P，与双曲线两条渐近线交于M,N两点，则 的值为
A. 3 B. 4 C.5 D.与P的位置有关
12. 设，其中，则函数在
内的零点个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D.与n有关
二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上
13.已知复数，则
14.从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM |= 5 。设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为 .
15.过平面区域内一点P作圆0: 的两条切线，切点分别为记为A，B，∠APB =，当最大时，点P坐标为 .
16.设，过下列点A(0,0)，B(0,2)，C (2,-1)，D()，E(-2,0)分别作曲线的切线，其中存在三条直线与曲线相切的点是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知向量，
设
(I)求的最小正周期；
(Ⅱ)在锐角三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求△ABC面积的最大值.
18.(本小题满分12分）
郑州一中社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了 100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图：将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”。
（I）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“围棋迷”与性别有关？
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求Z的分布列，期望
19.(本小题满分12分）
如图1，在直角梯形ABCD中,∠ADC =，
CD // AB，AB=2, AD=CD=1，M为线段AB的中点.将MDC沿AC折起，使平面 ADC丄平面ABC，得到几何体D - ABC，如图2所示。
（Ⅰ）求证:平面DBC丄平面ACD ；
（Ⅱ）求二面角B - CD -M的余弦值。
20. (本小题满分12分）
已知椭圆C:
的离心率为点，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是6。
(I)求椭圆C的方程；
(II)设圆T: ，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆
于E、F两点，当圆心在轴上移动且时，求EF的斜率的取值范围。
21.(本小题满分12分)
已知函数。
(I)证明：；
(II)设m > n > 0，比较与的大小，并说明理由。
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分）选修4一4,坐标系与参数方程
已知直线的参数方程：（为参数），曲线C的参数方程：
，(为参数），且直线交曲线C于A,B两点。
(I)将曲线C的参数方程化为普通方程，并求时, 的长度；
(Ⅱ)已知点P(1,0),求当直线倾斜角变化时，的范围.
23.(本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知实数a > 0, b > 0，且，若恒成立.
(I)求实数的最小值；
(Ⅱ)若对任意的恒成立，求实数的取值范围
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