2018年中考数学提分训练: 平移与旋转
一、选择题
1.在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. 圆 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形
3.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A'B'，那么A(－2，5)的对应点A′的坐标是（ ）
A. (2，5) B. (5， 2) C. (2，－5) D. (5，－2)
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4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC= ,将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是（ ）
A. 4 B. C. D.
5.已知点A（a，2017）与点A′（－2018，b）是关于原点O的对称点，则 的值为（ ）
A. 1 B. 5 C. 6 D. 4
6.如图，将半径为2，圆心角为 的扇形OAB绕点A逆时针旋转 ，点 的对应点分别为 ，连接 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
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7.如图所示，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝110°，则旋转角α的度数为（ ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
8.将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，如图，则 的大小为（ ）
A. 80° B. 100° C. 120° D. 不能确定
9.如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转40°，得到平行四边形AB′C′D′，若点B′恰好落在BC边上，则∠DC′B′的度数为（ ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
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10.如图，半径为1的 的圆心A在抛物线y=(x-3)2-1上，AB∥x轴交 于点B(点B在点A的右侧)，当点A在抛物线上运动时，点B随之运动得到的图象的函数表达式为（ ）
A. y=(x-4)2-1 B. y=(x-3)2 C. y=(x-2)2-1 D. y=(x-3)2-2
11.已知对应关系 ，其中，（x，y）、（x′，y′）分别表示△ABC、△A′B′C′的顶点坐标．若△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，则△A′B′C′的面积为（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
二、填空题
12.在平面直角坐标系中，点P（-5，3）关于原点对称点P′的坐标是________。
13.如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是________．
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14.如图，在△ABC中，BC=10，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，若A′B′恰好经过AC的中点O，则AA′的长度为__．
15.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为________．
16.如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为________．
17.如图示直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动到点 ，线段 长度为________.
18.如图，点A(m,2)，B(5，n)在函数y＝ (k＞0，x＞0)的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′.图中阴影部分的面积为8，则k的值为________.
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19.如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于________
三、解答题
20.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，平移距离为6，求阴影部分的面积．
21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF. 若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°.
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22.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0， ），把△ABO绕点O顺时针旋转，得A′B′O，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α=30°时，求点B′的坐标；
（Ⅱ）设直线AA′与直线BB′相交于点M．
如图②，当α=90°时，求点M的坐标；
②点C（﹣1，0），求线段CM长度的最小值．（直接写出结果即可）
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答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】 ：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】观察图形是否能绕一点旋转180度后能否与自身重合的图形.如果能重合即为中心对称图形．
2.【答案】D
【解析】 ：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某点旋转180后能与其自身重合的图形就是中心对称图形；根据定义一一判断即可。
3.【答案】B
【解析】 ：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
∴△ABO≌△A′B′O′,∠AOA′=90∘ ，
∴AO=A′O.
作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO=∠A′C′O=90∘.
∵∠COC′=90∘ ，
∴∠AOA′−∠COA′=∠COC′−∠COA′，
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∴∠AOC=∠A′OC′.
在△ACO和△A′C′O中，
∠ACO=∠A′C′O ∠AOC=∠A′OC′ AO=A′O，
∴△ACO≌△A′C′O(AAS)，
∴AC=A′C′,CO=C′O.
∵A(−2,5)，
∴AC=2，CO=5，
∴A′C′=2,OC′=5，
∴A′(5,2).
故应选 ：B。【分析】根据旋转的性质 ：△ABO≌△A′B′O′,∠AOA′=90°，根据全等三角形对应边相等得出AO=A′O.作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′，根据垂直的定义及同角的余角相等得出∠AOC=∠A′OC′.然后利用AAS判断出△ACO≌△A′C′O，根据全等三角形对应边相等得出AC=A′C′,CO=C′O.从而即可得出答案。
4.【答案】B
【解析】 如图，连接AM，
由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；
∵∠ABC=90°，AB=BC= ，
∴AC=2=CM=2，
∵AB=BC，CM=AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO= AC=1，OM=CM•sin60°= ，
∴BM=BO+OM=1+ ，
故答案为：B．
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【分析】连接AM，CA=CM，∠ACM=60°，△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO，OM=CM•sin60°，最终得到BM=BO+OM.
5.【答案】A
【解析】 ：∵点A（a，2017）与点A′（－2018，b）是关于原点O的对称点
∴a-2018=0且b+2017-0
解之：a=2018且b=-2017
∴a+b=2018-2017=1
故答案为：A【分析】根据关于原点对称点的坐标特点是：横纵坐标都互为相反数。建立关于a、b的方程组，解方程组求解，再求出a与b之和即可。
6.【答案】C
【解析】 连接OO′，BO′，
由题意得，∠OAO′=60°，所以△OAO′是等边三角形，所以∠AOO′=60°，因为∠AOB=120°，所以∠BOO′=60°，所以△BOO′是等边三角形，所以∠AO′B=120°，所以∠AO′B′=120°，所以∠BO′B′=120°，所以∠OBB′=∠OB′B=30°，所以阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形OO′B-S△OO′B）= ×1× -（ - ×2× ）= ，故答案为：C.
【分析】连接OO′，BO′，根据等边三角形的判定得出△OAO′是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOO′=60°，进而得出∠BOO′=60°，再判断出△BOO′是等边三角形，根据角的和差及旋转的性质得出∠AO′B=120°，∠AO′B′=120°，∠BO′B′=120°，根据等边对等角，及三角形的内角和得出∠OBB′=∠OB′B=30°，从而利用阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形OO′B-S△OO′B），即可算出答案。
7.【答案】C
【解析】 ：如图，
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∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°,
∵矩形ABCD绕点A顺时针得到矩形AB'C'D'，
∴∠D'=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=110°
∴∠3=360°-90°-90°-110°=70°
∴∠4=90°-70°=20°
∴∠α=20°
故答案为：C
【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．
8.【答案】B
【解析】 ：由旋转的性质可知：∠ADE=∠B=40°，AB=AD，∠BAD=100°.
∵AB=AD,∠BAD=100°，
∴∠B=∠ADB=40°，
∴∠EDB=∠ADE +∠ADB=40°+40°=80°,
∴∠EDP=180°-∠EDB=180°-80°=100°.
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质可知：∠ADE=∠B=40°，AB=AD，∠BAD=100°.根据等腰三角形的性质得出∠B=∠ADB=40°，根据角的和差得出∠EDB的度数，根据平角的定义得出∠EDP的度数。
9.【答案】C
【解析】 设AD与B'C'相交于点O,由旋转得,∠BAB′=40°，AB=AB′，∠B=∠AB′C′，
∴∠B=∠AB′B=∠AB′C′=70°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB′=∠AB′B=70°
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∴∠DAB′=70°=∠AB′C′，
∴AO=B′O,∠AOB'=∠DOC′=40°，
又∵AD=B′C′，
∴OD=OC′，
∴△ODC′中,∠DC′O=70° ，
故答案为：C【分析】先根据旋转得出∠BAB′=40° ， AB=AB′，∠B=∠AB′C′，根据等边对等角得出∠B=∠AB′B=∠AB′C′=70°，根据二直线平行，内错角相等得出∠DAB′=∠AB′B=70°，根据等量代换得出∠DAB′=∠AB′C′=70°，根据等角对等边得出AO=B′O，根据三角形的内角和及对顶角相等得出∠AOB'=∠DOC′=40°，根据等式的性质得出OD=OC′，最后根据等边对等角得出答案。
10.【答案】A
【解析】 ：∵半径为1的 ⊙ A 的圆心A在抛物线y=(x-3)2-1上，AB∥x轴
∴点B运动的抛物线就是将抛物线y=(x-3)2-1向右平移一个单位
∴点B随之运动得到的图象的函数表达式为：y=(x-4)2-1故答案为：A
【分析】根据题意可知点B运动的抛物线就是将抛物线y=(x-3)2-1向右平移一个单位，根据二次函数平移的规律：上加下减，左加右减，可解答此题。
11.【答案】B
【解析】 由对应关系可知：△ABC向左平移一个单位长度，向上平移2个单位长度可得到△A′B′C′，因为△ABC的面积与△A′B′C′面积相等，所以△A′B′C′的面积=△ABC的面积= ×6×2=6.
故答案为：B．
【分析】由已知条件中的对应关系可知：△ABC向左平移一个单位长度，向上平移2个单位长度可得到△A′B′C′，根据平移的性质可得△ABC的面积=△A′B′C′面积，所以△A′B′C′的面积=△ABC的面积=×6×2=6.
二、填空题
12.【答案】（5，-3）
【解析】 ：∵点P（-5，3）
∴点P关于原点对称点P′的坐标为（5，-3）【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点是横纵坐标都互为相反数，即可求解。
13.【答案】（1,1）（4,4）
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【解析】 ：如图
①当点A的对应点为点C时,连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示,
∵A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，
∴E点的坐标为(1,1)；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，
∴M点的坐标为(4,4).
∴这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).
故答案为：(1,1)或(4,4).
【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心，即可求解。
14.【答案】5
【解析】 ∵将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置，
∴A′B′∥AB，
∵O是AC的中点，
∴B′是BC的中点，
∴BB′=10÷2=5，
故△ABC平移的距离为5，所以AA′=5，
故答案为：5．
【分析】根据平移的性质知 ：A′B′∥AB，根据中位线定理得出B′是BC的中点，从而得出BB′的长度，得出平移距离，根据平移的性质得出AA′的长度。
15.【答案】2.5
【解析】 ∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，
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在△DEF和△DMF中， ，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF，设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2 ， 即22+（4﹣x）2=x2 ，
解得：x= ， ∴FM= ．
【分析】由旋转的性质可得∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，AE=CM=1，所以F、C、M三点共线，由已知条件用边角边易证△DEF≌△DMF，所以EF=MF，设EF=MF=x，所以BM=BC+CM=3+1=4，则BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2 ， 即22+（4﹣x）2=x2 ， 解这个方程即可求解。
16.【答案】17°
【解析】 ∵∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′，
∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°，
∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°.
故答案为：17°.
【分析】根据旋转的性质得出∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°，根据角的和差得出∠B′AC的度数。
17.【答案】2
【解析】 当y=0时， x+ =0，解得x=-1，则A（-1，0），
当x=0时，y= x+ = ，则B（0， ），
∴OB= ,OA=1
∴AB= ，
∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，AB1=AB=2
∴OB1=1
∴ =
故答案为：2.
【分析】因为直线 y =x +与x轴、y轴分别交于点A、B，所以易得A（-1，0），B（0，），则OB= ，OA=1；根据勾股定理可求得AB=2，由旋转的性质可得AB1=AB=2，所以OB1=1，在直角三角形OBB1中，由勾股定理可得BB1=2.
18.【答案】2
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【解析】 ：∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线,点A. B的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，
∴5−m=4，
∴m=1，
∴A(1,2)，
∴k=1×2=2.
故答案为：2.
【分析】根据平行四边形的面积公式及反比例函数图像上的点的性质，可求出k的值。
19.【答案】
【解析】 连接AW，如图所示：
根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°，
在Rt△ADW和Rt△AB′W中，
∴Rt△ADW≌Rt△AB′W（HL），
∴∠B′AW=∠DAW=30º
又AD=AB′=1，
∴DW=
∴△ADW面积为
∴阴影部分的面积是
【分析】先连接AW，将阴影部分的分为两个全等直角三角形，再利用旋转的性质及勾股定理求得直角三角形的两条直角边的长，即可求得直角三角形的面积，进而可求得阴影部分的面积.
三、解答题
20.【答案】解：由题意知阴影部分的面积=梯形ABEH的面积
根据平移的性质知DE=AB=10
又∵DH＝4
∴HE=6
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∵平移距离为6
∴BE=6
∴阴影部分的面积=梯形ABEH的面积=（AB+EH）BE÷2=（10+6）×6÷2=48.
【解析】【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积=梯形ABEH的面积，然后根据梯形面积计算方法计算即可。
21.【答案】解:由旋转的性质得:∠DCF=90°∠DCE+∠ECF=90°
∵∠ACB=90°
∴∠DCE+∠BCD=90°
∴∠ECF=∠BCD
∵EF|DC,
∴,∠EFC+∠DCF=180°
∴,∠EFC=90°
在△BDC和△EFC中
∴△BDC≌△EFC(SAS)
∴∠BDC=∠EFC=90°
【解析】【分析】根据旋转的性质可得出∠DCE+∠ECF=90°，再根据同角的余角相等，可证得∠ECF=∠BCD，从而可证得∠EFC=90°，然后证明△BDC≌△EFC，利用全等三角形的性质，可证得结论。
22.【答案】解：（Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H．
∵∠HOA′=α=30°，
∴∠OHA′=90°，
∴OH=OA′•cos30°= ，B′H=OB′•cos30°= ，
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∴B′（ ， ）．
（Ⅱ）①∵OA=OA′，
∴Rt△OAA′是等腰直角三角形，
∵OB=OB′，
∴Rt△OBB′也是等腰直角三角形，
显然△AMB′是等腰直角三角形，
作MN⊥OA于N，
∵OB′=OA+AB′=1+2AN= ，
∴MN=AN= ，
∴M（ ， ）．
②如图③中，
∵∠AOA′=∠BOB′，OA=OA′，OB=OB′，
∴∠OAA′=∠OA′A=∠OBB′=∠OB′B，
∵∠OAA′+∠OAM=180°，
∴∠OBB′+∠OAM=180°，
∴∠AOB+∠AMB=180°，
∵∠AOB=90°，
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∴∠AMB=90°，
∴点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，
当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值=CO′﹣ AB= ﹣1．
【解析】【分析】 （Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H，利用解直角三角形出OH，B′H即可解决问题。
（Ⅱ）①作MN⊥OA于N，易证Rt△OAA′、Rt△OBB′、△AMB′都是等腰直角三角形，再求出ON，MN的长，即可解决问题。
②根据题意易证点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值=CO′-AB，即可解答。
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