邢台一中2015-2016学年下学期第三次月考
高二年级数学试题（理科）
命题人：刘聚林 李芳
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1. 已知全集为，且集合，，则等于 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则复数在复平面内
对应的点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题，命题，则下列判断正确的是（ ）
A．命题是假命题 B．命题是真命题
C．命题是假命题 D．命题是真命题
4．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数；；；
，下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是 （ ）
A．都是偶函数 B．一个奇函数，三个偶函数
C．一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数
D．一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数
6．设则多项式的常数项是 （ ）
A.-332. B.332 C. 166 D. -166
7．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生和都不是第一个出场，不是最后一个出场”的前提下，学生第一个出场的概率为 （ ）
A． B． C． D．
8.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择.已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为 （ ）
A.144 B. 132 C. 96 D.48
9．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下面给出的命题中错误的是 （ ）
A．函数是周期函数，且周期T=3 B．函数在上有可能是单调函数
C．函数的图像关于点对称 D．函数是偶函数
10.已知函数若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知函数若的两个零点分别为，，则 （ ）
A． B． C． D．
12.定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有
恒成立，则使成立的实数的集合为 （ ）
A． B． C． D．
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上
13．设：，：，若是的充分不必充要条件，则实数的
取值范围是 ．
14．的各项系数和是，则由曲线和围成的封闭图形的面积为_______
15.已知函数的定义域是(为整数)，值域是，则所有满足条件的整数数对组成的集合为 ．
16.已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①； ②；
③； ④．
其中是“垂直对点集”的序号是 ．
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数；在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（I）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线：与曲线，的交点分别为（异于原点），当斜率时，求的取值范围．
18．（12分）已知函数．
（I） 当时，求的解集；
（Ⅱ）若的解集包含集合，求实数的取值范围．
X
3
4
5
6
Y
2.5
3
4
4.5
19. (12分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据
（I）请根据上表提供的数据，用最小二乘法
求出关于的线性回归方程；
（Ⅱ）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（I）
求出的线性同归方
程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（附：，，其中，为样本平均值）
20. （12分）为了研究某学科成绩（满分100分）是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优秀(含80分)．
（Ⅰ）请根据图示，将2×2列联表补充完整；并据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优秀的概率。
优秀
非优秀
总计
男生
女生
总计
50
附：
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
21.（12分）某校高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为
（Ⅰ）分别求考生甲、乙能通过该实验学科能力考查的概率；
（Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布，并求及；
（Ⅲ）试用统计知识分析比较甲、乙考生在该实验学科上的能力水平．
22. (12分)已知函数．
（I）求函数的单调减区间；
(II) 记函数的图象为曲线．设点是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值和谐切线”．当时，函数是否存在
“中值和谐切线”，请说明理由．
邢台一中2015-2016学年下学期第三次月考
高二年级数学试题（理科）参考答案
一、 选择题
CDDAC AABBD DB
二、 填空题
13. ; 14. ;
15. ; 16. ③④
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由得，即，
所以的极坐标方程为． ………………3分
由得，所以曲线的直角坐标方程为……5分
（Ⅱ）设射线：的倾斜角为，则射线的极坐标方程为，………6分
且，
联立得， ………7分
联立得， …………9分
所以，
即的取值范围是． …………10分
解法二：（Ⅰ）同方法一．
（Ⅱ）设射线：的倾斜角为，
则射线的参数方程，其中为参数，
将代入:，得，
设点对应的参数为，则， ………7分
同理，将代入，得，
设点对应的参数为，则， …………9分
所以，
∵，∴的取值范围是． …………10分
18. 解：（I）当时，，，
上述不等式可化为或或
解得或或 …………3分
∴或或，
∴原不等式的解集为. ………6分
（II）∵的解集包含，
∴当时，不等式恒成立，
即在上恒成立，………………8分
∴， 即，∴，
∴在上恒成立， ………………10分
∴，∴， ∴的取值范围是．……12分
19．解： (1)计算得：，，， [ ……4分
所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为：
，
因此，所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35.……8分
（Ⅱ）由(Ⅰ)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：
90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．……12分
20. 解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：
优分
非优分
总计
男生
9
21
30
女生
11
9
20
总计
20
30
50
2分
假设：该学科成绩与性别无关，
的观测值，
因为，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．
--------------- 6分
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优秀频率视作概率． 7分
设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优秀人数为，则服从二项分布， 9分
所求概率．------------12分
21.（Ⅰ）设甲、乙能过关的事件分别为、,则
， ……………………3分
. （Ⅱ）, ,,
X
1
2
3
P
0.2
0.6
0.2
-------------------7分
（Ⅲ）设考生乙能正确完成的题数为，则 ,
0
1
2
3
P
-------------------10分
，表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．
,这表明的取值比的取值相对集中于均值2的周围，
因此甲生的实验学科能力比乙生强．------------------------12分
22.解：（Ⅰ）函数的定义域是…（1分）
由已知得，．…（2分）
（1）当时，令，解得；所以函数在上单调递减，
（2）当时，
①当时，即时，令，解得或；所以，函数在和上单调递减，（4分）
②当时，即时，显然，函数在上单调递减；
③当时，即时，令，解得或；所以，函数在和上单调递减，…（5分）
综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在和上单调递减；当时，函数在上单调递减；
当时，函数在和上单调递减，…（6分）
（Ⅱ）时，，
假设函数存在“中值和谐切线”．
设是曲线上的不同两点，且，
则
曲线在点处的切线斜率…（8分）
依题意得：
化简得：，即，亦即．
设，上式化为：，即．…（10分）
令，则
所以在上递增，故有恒成立．
所以在内不存在，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数不存在“中值和谐切线”．——————（12分）
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