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2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【解析】A
∴，，∴，故选A．
（2）已知集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
【解析】C
，
∴，∴，
故选C．
（3）已知向量，且，则m=
（A） （B） （C）6 （D）8
【解析】D
，
∵，∴
解得，
故选D．
（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=
（A） （B） （C） （D）2
【解析】A
圆化为标准方程为：，
故圆心为，，解得，
故选A．
（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
【解析】B
有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法
故选B．
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
【解析】C
几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．
由图得，，由勾股定理得：，
，
故选C．
（7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为
（A） （B）
（C） （D）
【解析】B
平移后图像表达式为，
令，得对称轴方程：，
故选B．
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的a为2，2，5，则输出的
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
【解析】C
第一次运算：，
第二次运算：，
第三次运算：，
故选C．
（9）若，则=
（A） （B） （C） （D）
【解析】D
∵，，
故选D．
（10）从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为
（A） （B） （C） （D）
【解析】C
由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在
如图所示的阴影中
由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．
（11）已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，sin ,则E的离心率为
（A） （B） （C） （D）2
【解析】A
离心率，由正弦定理得．
故选A．
（12）已知函数满足，若函数与图像的交点
为，，⋯，，则（ ）
（A）0 （B）m （C）2m （D）4m
【解析】B
由得关于对称，
而也关于对称，
∴对于每一组对称点 ，
∴，故选B．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．
（13）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，
则 ．
【解析】
∵，，
，，
，
由正弦定理得：解得．
（14），是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：
①如果，，，那么．
②如果，，那么．
③如果，，那么．
④如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等．
【解析】②③④
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
【解析】
由题意得：丙不拿（2，3），
若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，
若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，
故甲（1，3），
（16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线， ．
【解析】
的切线为：（设切点横坐标为）
的切线为：
∴
解得
∴．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【解析】⑴设的公差为，，
∴，∴，∴．
∴，，．
⑵记的前项和为，则
．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴．
（18）（本小题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．
⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，
．
⑶解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为．
（19）（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置.
（I）证明：平面ABCD；
（II）求二面角的正弦值.
【解析】⑴证明：∵，
∴，
∴．
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴面．
⑵建立如图坐标系．
，，，，
，，，
设面法向量，
由得，取，
∴．
同理可得面的法向量，
∴，
∴．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（I）当，时，求△AMN的面积；
（II）当时，求k的取值范围.
【解析】 ⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，
则直线AM的方程为．
联立并整理得，
解得或，则
因为，所以
因为，，
所以，整理得，
无实根，所以．
所以的面积为．
⑵直线AM的方程为，
联立并整理得，
解得或，
所以
所以
因为
所以，整理得，．
因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得
解得．
（21）（本小题满分12分）
(I)讨论函数的单调性，并证明当时，
(II)证明：当 时，函数 有最小值.设的最小值为，求函数的值域.
【解析】⑴证明：
∵当时，
∴在上单调递增
∴时，
∴
⑵
由(1)知，当时，的值域为，只有一解．
使得，
当时，单调减；当时，单调增
记，在时，，∴单调递增
∴．
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.
(I) 证明：B，C，G，F四点共圆；
(II)若，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
【解析】（Ⅰ）证明：∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴．
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点，，
∴，
∴在中，，
连接，，
∴．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xOy中，圆C的方程为．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率．
【解析】解：⑴整理圆的方程得，
由可知圆的极坐标方程为．
⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，
由垂径定理及点到直线距离公式知：，
即，整理得，则．
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数，M为不等式的解集.
（I）求M；
（II）证明：当a，时，．
【解析】解：⑴当时，，若；
当时，恒成立；
当时，，若，．
综上可得，．
⑵当时，有，
即，
则，
则，
即，
证毕．
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