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说明：非官方版正式答案，有可能存在少量错误，仅供参考使用。
2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据的方差，其中．
棱柱的体积，其中是棱柱的底面积，是高．
棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 已知集合，，则 ．
【答案】 ；
【解析】 由交集的定义可得．
2. 复数，其中为虚数单位，则的实部是 ．
【答案】 5；
【解析】 由复数乘法可得，则则的实部是5．
3. 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 ．
【答案】 ；
【解析】 ，因此焦距为．
4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ．
【答案】 ；
【解析】 ，．
5. 函数的定义域是 ．
【答案】 ；
【解析】 ，解得，因此定义域为．
1. 如图是一个算法的流程图，则输出的值是 ．
【答案】 9；
【解析】 的变化如下表：
1
5
9
9
7
5
则输出时．
2. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．
【答案】 ；
【解析】 将先后两次点数记为，则共有个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有六种，则点数之和小于10共有30种，概率为．
3. 已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是 ．
【答案】 ；
【解析】 设公差为，则由题意可得，，
解得，，则．
4. 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 ．
【答案】 7；
【解析】 画出函数图象草图，共7个交点．
2. 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ．
【答案】 ；
【解析】 由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，
由可得，，，
则，由可得，则．
3. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上
其中，若，则的值是 ．
【答案】 ；
【解析】
由题意得，，
由可得，则，
则．
1. 已知实数满足 则的取值范围是 ．
【答案】 ；
【解析】 在平面直角坐标系中画出可行域如下
为可行域内的点到原点距离的平方．
可以看出图中点距离原点最近，此时距离为原点到直线的距离，
，则，
图中点距离原点最远，点为与交点，则，
则．
2. 如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，
则的值是 ．
【答案】 ；
【解析】 令，，则，，，
则，，，，，，
则，
，，
由，可得，，因此，
因此．
1. 在锐角三角形中，，则的最小值是 ．
【答案】 8；
【解析】 由，，
可得（*），
由三角形为锐角三角形，则，
在（*）式两侧同时除以可得，
又(#)，
则，
由可得，
令，由为锐角可得，
由(#)得，解得
，
，由则，因此最小值为，
当且仅当时取到等号，此时，，
解得（或互换），此时均为锐角．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
2. （本小题满分14分）
在中，，，．
⑴ 求的长；
⑵ 求的值．
【答案】 ⑴；⑵ ．
【解析】⑴ ，为三角形的内角
，即：；
⑵
又为三角形的内角
．
2. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，
且，．
求证：⑴ 直线平面；
⑵ 平面平面．
【答案】 见解析；
【解析】⑴ 为中点，为的中位线
又为棱柱，
，又平面，且
平面；
⑵ 为直棱柱，平面
，又
且，平面
平面，
又，平面
又平面，
又，，且平面
平面，又
平面平面．
2. （本小题满分14分）
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
⑴ 若，，则仓库的容积是多少；
⑵ 若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？
【答案】 ⑴；⑵；
【解析】⑴ ，则，
，，
，
故仓库的容积为；
⑵ 设，仓库的容积为
则，，，
，
，
，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因此，当时，取到最大值，
即时，仓库的容积最大．
1. （本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：
及其上一点．
⑴ 设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
⑵ 设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；
⑶ 设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．
【答案】 ⑴⑵或⑶；
【解析】⑴ 因为在直线上，设，因为与轴相切，
则圆为，
又圆与圆外切，圆：，
则，解得，即圆的标准方程为；
⑵ 由题意得， 设，则圆心到直线的距离,
则，，即，
解得或，即：或；
⑶ ，即，即，
，
又,
即，解得，
对于任意，欲使，
此时，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，
必然与圆交于两点，此时，即，
因此对于任意，均满足题意，
综上．
2. （本小题满分14分）
已知函数．
⑴ 设，．
① 求方程的根；
② 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
⑵ 若，，函数有且只有1个零点，求的值．
【答案】 ⑴ ①；②；⑵；
【解析】⑴ ① ，由可得，
则，即，则，；
② 由题意得恒成立，
令，则由可得，
此时恒成立，即恒成立
∵时
，当且仅当时等号成立，
因此实数的最大值为．
，，
由，可得，令，则递增，
而，因此时，
因此时，，，则；
时，，，则；
则在递减，递增，因此最小值为，
① 若，时，，，则；
logb2时，，，则；
因此且时，，因此在有零点，
且时，，因此在有零点，
则至少有两个零点，与条件矛盾；
② 若，由函数有且只有1个零点，最小值为，
可得，
由，
因此，
因此，即，即，
因此，则．
1. （本小题满分14分）
记．对数列（）和的子集，若，定义；
若，定义．例如：时，．
现设（）是公比为的等比数列，且当时，．
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 对任意正整数（），若，求证：；
⑶ 设，，，求证：．
【答案】 ⑴；⑵⑶详见解析；
【解析】⑴ 当时，，因此，从而，；
⑵ ；
⑶ 设，，则，，， ，因此原题就等价于证明．
由条件可知．
① 若，则，所以．
② 若，由可知，设中最大元素为，中最大元素为，
若，则由第⑵小题，，矛盾．
因为，所以，所以，
，即．
综上所述，，因此．
数学Ⅱ（附加题）
2. [选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，在中，，，为垂足，是中点．
求证：．
【答案】 详见解析；
【解析】 由可得，
由是中点可得，
则，
由可得
，
由可得，
因此，
又可得．
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵，矩阵的逆矩阵，求矩阵．
【答案】 ；
【解析】 ，因此．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，求线段的长．
【答案】 ；
【解析】 直线方程化为普通方程为，
椭圆方程化为普通方程为，
联立得，解得或，
因此．
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设，，，求证：．
【答案】 详见解析；
【解析】 由可得，
．
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2. （本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．
⑴ 若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；
⑵ 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．
①求证：线段上的中点坐标为；
②求的取值范围．
【答案】 ⑴；⑵①见解析；②
【解析】⑴ ，与轴的交点坐标为
即抛物线的焦点为，
；
⑵ ① 设点，
则：，即，
又关于直线对称，
即，
又中点一定在直线上
线段上的中点坐标为；
② 中点坐标为
即
，即关于有两个不等根
，，．
2. （本小题满分10分）
⑴ 求的值；
⑵ 设，，求证：
．
【答案】 ⑴；⑵详见解析；
【解析】⑴ ；
⑵ 对任意的，
① 当时，左边，右边，等式成立，
② 假设时命题成立，
即，
当时，
左边=
，
右边，
而，
因此，
因此左边=右边，
因此时命题也成立，
综合①②可得命题对任意均成立．
另解：因为，所以
左边
又由，知
，
所以，左边右边．
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