北师大版八年级上《第一章勾股定理》综合性提高训练含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 北师大8上第一章勾股定理综合性提高训练（含答案）‎ 例题1、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ 解:设两直角边分别为,斜边为,则,. 由勾股定理,得.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以.所以.故选（C）‎ 例题2．在中,,边上有2006个不同的点,‎ 记,则=_____.‎ 解:如图,作于,因为,则.‎ 由勾股定理,得.所以 所以.‎ 因此.‎ 例题3．如图所示，在中,,且,‎ ‎,求的长.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ 解:如右图：因为为等腰直角三角形,所以.‎ ‎ 所以把绕点旋转到,则.‎ ‎ 所以.连结. 所以为直角三角形.‎ ‎ 由勾股定理,得.所以.‎ ‎ 因为所以. ‎ 所以. 所以.‎ 例题4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，请用学过的知识试求PC·PB+PA2的值。‎ A B P C 例题5、如图在Rt△ABC中,，在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：‎ 要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解：要在Rt△ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。‎ 例题6．如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=‎1km，BD=‎3km，CD=‎3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。‎ 例题7.△ABC中，BC，AC，AB，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论.‎ ‎. 解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2 ‎ 若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b20，x>0 ∴2ax>0 ∴a2+b2>c2 当△ABC是钝角三角形时，‎ 例题8． A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10 千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．‎ ‎ （1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；‎ ‎ （2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 课堂练习：‎ ‎1、将一根‎24cm的筷子，置于底面直径为‎15cm，高‎8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（　　）．‎ A．h≤‎17cm　　 　B．h≥‎8cm　　C．‎15cm≤h≤‎16cm　 　D．‎7cm≤h≤16cm ‎2 如图，已知：，，于P. 求证：. 　　　　　　　　　　　　　　　 　　‎ 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 　　解析：连结BM，根据勾股定理，在中， 　　　　　. 　　　　　而在中，则根据勾股定理有 　　　　　. 　　　　　∴ 　　　　　又∵ （已知），　　　　　∴. 　　　　　在中，根据勾股定理有　　，　　∴. ‎ ‎3 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 　　解析：延长AD、BC交于E。 　　　　　∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 　　　　　∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， 　　　　　∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎。 　　　　　∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 　　　　　∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE= ‎ ‎4 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽‎1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线‎0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H． 　　解：OC＝‎1米　(大门宽度一半)， 　　　　OD＝‎0.8米　（卡车宽度一半） 　　　　在Rt△OCD中，由勾股定理得： 　　　　CD＝＝＝‎０.６米， 　　　　CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）． 　　　　因此高度上有‎0.4米的余量，所以卡车能通过厂门． ‎ ‎5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝‎160m。假设拖拉机行驶时，周围‎100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为‎18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于‎100m, 小于‎100m则受影响，大于‎100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 　　解析：作AB⊥MN，垂足为B。 　　　　　在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160， 　　　　　∴ AB＝AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） 　　　　　∵点 A到直线MN的距离小于‎100m, 　　　　　∴这所中学会受到噪声的影响。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 　　　　　如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)， 　　　　　由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m), 　　　　　∴CD＝120(m)。 　　　　　拖拉机行驶的速度为 : ‎18km/h＝‎5m/s 　　　　　t＝‎120m÷‎5m/s＝24s。 　　答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 6、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD． 　　解：连接AD． 　　　　因为∠BAC=90°，AB=AC．　又因为AD为△ABC的中线， 　　　　所以AD=DC=DB．AD⊥BC． 　　　　且∠BAD=∠C=45°． 　　　　因为∠EDA+∠ADF=90°．　又因为∠CDF+∠ADF=90°． 　　　　所以∠EDA=∠CDF．　所以△AED≌△CFD（ASA）． 　　　　所以AE=FC=5． 　　　　同理：AF=BE=12． 　　　　在Rt△AEF中，根据勾股定理得： 　　　　，所以EF=13。 　　总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 7 如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°。‎ 求证：DE2=AD2+BE2。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。‎ ‎8 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分△AFC的面积是 。‎ 设EF=x，那么AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2,所以42+x2=(8-x) 2,解得x=3，‎ S=4*8/2-3*4/2=10‎ 答案：10‎ ‎9. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点 C1处，如图，已知长方形长‎6cm，宽‎5 cm，高‎3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形 的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着 怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？‎ ‎10. 已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？‎ 答案： 是直角三角形。（平方差公式的灵活运用）‎ ‎=。‎ 变式训练：‎ 一、选择题 ‎　1.下列说法正确的有( ) ‎ ‎　　①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2.　　②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形.　　③若△ABC中，a2-b2=c2，则△ABC是直角三角形.　④若△ABC是直角三角形，则(a+b)(a-b)=c2.　　A.4个 　　　B.3个 　　　C.2个 　　　D.1个 ‎　　2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( 　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　　A.24cm2 　　　B.36cm2 　　C.48cm2 　 D.60cm2‎ ‎3.已知，如图，一轮船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则2小时后，两船相距( 　)‎ ‎　　A.35海里 　　 B.40海里 　　 C.45海里 　 D.50海里 ‎　　　　　　　　‎ ‎　　4.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为(　 ) ‎ ‎　　A.3　　　　　B.4　　　　C.5　　　　　D.6‎ ‎　二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题后的横线上.)‎ ‎5.如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走 ‎“捷径”，在草坪内走出了一条"路".他们仅仅少走了_________‎ 步路(假设2步为1米)，却踩伤了青草.‎ ‎6.如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.‎ ‎7.如果三条线段的长度分别为8cm、xcm、18cm，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么以x为边长的正方形的面积为__________.‎ ‎8.已知△ABC的三边a、b、c满足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|，则△ABC的面积为________.‎ 三、解答题(共6小题，1、2题各10分，3-6题各12分，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)‎ ‎9.如图是一块地，已知AB=8m，BC=6m，∠B=90°，AD=26m，CD=24m，求这块地的面积. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　　‎ ‎　10.如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？‎ ‎　　‎ ‎11.如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，若DA=10km,CB=15km，现要在AB上建一个周转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？‎ ‎　　‎ ‎12.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕(对角线)AC，再折叠使AB边与AC重合，得折痕AE，若AB=3，AD=4，求BE的长.‎ ‎　　‎ ‎13.如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，到河流的距离分别为AC=10km，BD=30km，且CD=30km，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每km3万元，请你在河流CD上选择建水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ ‎ ‎　　 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14.“交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪所在位置A处正前方30米的C处，过了2秒后，测得小汽车所在位置B处与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？‎ ‎　　‎ 附加题(10分，不计入总分)‎ 如图，P是矩形ABCD内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则PD=_________.‎ ‎　　‎ ‎　‎ 变式训练答案：　一、1.C 2.A 3.D 4.C ‎　　二、5.4 　　6.30cm 　　7.260cm或388cm 　　8.30‎ ‎　　三、9.解：连接AC.……1分 ‎　　在△ABC中，∵AB=8m,BC=6m,∠B=90°，‎ ‎　　∴由勾股定理，AC2=AB2+BC2=82+62=100,AC=10. ……3分 ‎　　在△ACD中，AC2+CD2=102+242=676,AD2=676，‎ ‎　　∴AC2+CD2=AD2. ∴△ACD是直角三角形.……6分 ‎　　∴……8分 ‎　　答：求这块地的面积是96m2.……10分 ‎　　10.解：由勾股定理，82+62=102,……3分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　　102+242=262 .……6分 ‎　　∴30-26=4.……8分 ‎　答：细木棒露在盒外面的最短长度是4cm.……10分 ‎11.解：设E点建在距A点xkm处.……1分 ‎　　如图，则AE长xkm，BE长(25-x)km.……2分 ‎　　∵DA⊥AB，∴△DAE是直角三角形. ‎ ‎　　由勾股定理，DE2=AD2+AE2=102+x2.……5分 ‎　　同理，在Rt△CBE中，CB2+BE2=152+(25-x)2.……7分 ‎　　依题意，102+x2=152+(25-x)2，…… 9分 ‎　　解得，x=15. ……11分 ‎　　答：E应建在距A15km处.……12分 ‎　　12.解：在AC上截取AF=AB，连接EF.……1分 ‎　　依题意，AB=AF, BE=EF, ∠B=∠AFE=90°.……3分 ‎　　在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4,‎ ‎　　∴AC2=32+42=25,AC=5. ∴CF=AC-AF=5-3=2. ……5分 ‎　　设BE长为x，则EF=x,CE=4-x. ……7分 在Rt△CFE中，CE2=EF2+CF2,即(4-x)2=x2+22.……9分 ‎　　解得，x=. ……11分 ‎　　答：BE的长为.……12分 ‎13.解：作点A关于CD的对称点E，连接EB，交CD于M. 则AC=CE=10公里.……2分 过点A作AF⊥BD,垂足为F.‎ 过点B作CD的平行线交EA延长线于G，得矩形CDBG.……4分 则CG=BD=30公里，BG=CD=30公里，EG=CG+CE=30+10=40里.……7分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　　在Rt△BGE中，由勾股定理，BE2=BG2+EG2=302+402,BE=50km，……9分 ‎　　∴3×50=150(万元).……11分 ‎　　答：铺设水管的总费用最少为150万元. ……12分 ‎　14.解：依题意，在Rt△ACB中，AC=30米，AB=50米， ‎ ‎　　由勾股定理，BC2=AB2-AC2=502-302,BC=40米.……3分 ‎　　∴小汽车由C到B的速度为40÷2=20米/秒. ……5分 ‎　　∵20米/秒=72千米/小时，……8分 ‎　　72＞70，……10分 ‎　　因此，这辆小汽车超速了. ……12分 附加题 解：过点P作MN∥AD交AB于点M， 交CD于点N， ‎ ‎　　则AM=DN，BM=CN.……2分 ‎　　∵∠PMA=∠PMB=90°， ‎ ‎　　∴PA2-PM2=AM2，PB2-PM2=BM2.……4分 ‎ ‎　　∴PA2-PB2=AM2-BM2.……5分 ‎ ‎　　同理，PD2-PC2=DN2-CN2.……7分 ‎　　∴PA2-PB2=PD2-PC2.又PA=1，PB=5，PC=7，……8分 ‎ ‎∴PD2=PA2-PB2＋PC2=12-52＋72，PD=5.……10分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费