6 利用三角函数测高
知识点 1 测量底部可以到达的物体的高度
图1－6－1
1．如图1－6－1，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 m的B处测得树顶点A的仰角∠ABO为∠α，则树OA的高度为( )
A. m B．30sinα m
C．30tanα m D．30cosα m
2．湖南路大桥为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50 m的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图1－6－2)．已知测量仪器CD的高度为1 m，则桥塔AB的高度约为(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)( )
图1－6－2
A.34 m B．38 m
C．45 m D．50 m
3．某校数学兴趣小组要测量贵阳某电视塔的高度．如图1－6－3，他们在点A处测得电视塔最高点C的仰角为45°，再往电视塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB＝62 m，根据这个兴趣小组测得的数据，则电视塔的高度CD约为________m．(sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整数)
图1－6－3
知识点 2 测量底部不可以到达的物体的高度
4．[2016·重庆] 某数学兴趣小组的同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图1－6－4，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一平面的斜坡AB行走13 m至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6 m至大树脚底点D处，斜坡AB的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )
A．8.1 m B．17.2 m
C．19.7 m D．25.5 m
图1－6－4
图1－6－5
5．如图1－6－5，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝________m(结果保留根号)．
6．2017·贵阳模拟贵阳是一座美丽的生态文明城市，某中学依山而建，校门A处有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD＝5米．
(1)求斜坡AB的坡度i；
(2)求DC的长．
(参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2)
图1－6－6
7．如图1－6－7，小明想测量河对岸的一幢高楼AB的高度，小明在河边C处测得楼顶A的仰角是60°，距C处60 m的E处有一幢楼房，小明从该楼房中距地面20 m的D处测得楼顶A的仰角是30°(点B，C，E在同一直线上，且AB，DE均与地面BE垂直)，求楼AB的高度．
图1－6－7
图1－6－8
8．[2017·深圳] 如图1－6－8，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是( )
A．20 m B．30 m C．30 m D．40 m
9．如图1－6－9，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42 cm，灯罩BC长为32 cm，底座厚度为2 cm，灯臂与底座构成的角∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少？(结果精确到0.1 cm，
参考数据：≈1.732)
图1－6－9
10．[2017·菏泽] 如图1－6－10，某小区1号楼与11号楼隔河相望，李明家住在1号楼，他很想知道11号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮李明计算11号楼的高度CD.
图1－6－10
11．九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
(1)如图1－6－11①，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，
使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数；
(2)如图②，第二小组用皮尺量得EF的长为16 m(点E为护墙上的端点)，EF的中点距地面FB的高度为1.9 m，请你求出点E离地面FB的高度；
(3)如图③，第三小组利用第一、二小组的结果来测量护墙上旗杆的高度．在点P处测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4 m到达点Q，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度(精确到0.1 m，参考数据：≈1.732，≈1.414)．
图1－6－11
详解
1．C
2．C [解析] 过点D作DE⊥AB于点E，∴DE＝BC＝50 m.
在Rt△ADE中，AE＝DE·tan41.5°≈50×0.885＝44.25(m)．
∵CD＝1 m，∴BE＝1 m，
∴AB＝AE＋BE＝44.25＋1≈45(m)，
∴桥塔AB的高度约为45 m．故选C.
3．189 [解析] 根据题意得：∠CAD＝45°，∠CBD＝56°，AB＝62 m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD.
∵AD＝AB＋BD，
∴AB＝AD－BD＝CD－BD.
∵在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，
∴BD＝，
∴AB＝CD－＝62，
∴CD≈189(m)．
故答案为189.
4．A [解析] 如图，作BF⊥AE于点F，
则FE＝BD＝6 m，DE＝BF.
∵斜坡AB的坡度i＝1∶2.4，∴AF＝2.4BF，
设BF＝x m，则AF＝2.4x m.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得x2＋(2.4x)2＝132，解得x＝5，
∴DE＝BF＝5 m，AF＝12 m，
∴AE＝AF＋FE＝18 m.
在Rt△ACE中，CE＝AE·tan36°≈18×0.73＝13.14(m)，
∴CD＝CE－DE＝13.14－5≈8.1(m)．故选A.
5．(7 ＋21)
6．解：(1)如图，过点B作BG⊥AD于点G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG＝FD＝5米．
∵AB＝13米，
∴AG＝＝12米，
∴斜坡AB的坡度i＝＝1∶2.4.
(2)在Rt△BCF中，BF＝≈，
在Rt△CEF中，EF＝≈.
∵BE＝4米，∴BF－EF≈－＝4，
解得CF＝16(米)．
∴DC＝CF＋DF≈16＋5＝21(米)．
7．解：过点D作DF⊥AB于点F，则四边形BFDE为矩形．
设AB的长度为x m，则AF＝(x－20)m，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝60°，
∴BC＝ m.
在Rt△ADF中，∵∠ADF＝30°，
∴DF＝(x－20)m.
∵EB＝DF，CE＝60 m，∴(x－20)－＝60，
解得x＝30 ＋30.
即楼AB的高度为(30 ＋30)m.
8．B [解析] 先根据CD＝20 m，DE＝10 m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBF＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
在Rt△CDE中，
∵CD＝20 m，DE＝10 m，
∴sin∠DCE＝＝，∴∠DCE＝30°.
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°，
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°.
∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝＝＝20 (m)，
∴AB＝BC·sin60°＝20 ×＝30(m)．
9．解：如图，由题意得CD⊥AD，过点B分别作BM⊥CE于点M，BF⊥AD于点F.
∵灯罩BC长为32 cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，
∴在Rt△CMB中，sin30°＝＝，
∴CM＝16(cm)．
在Rt△ABF中，sin60°＝，
∴＝，解得BF＝21 (cm)．
∵∠ADC＝∠BMD＝∠BFD＝90°，
∴四边形BFDM为矩形，∴MD＝BF，
∴CE＝CM＋MD＋DE＝CM＋BF＋DE＝16＋21 ＋2≈54.4(cm)．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是54.4 cm.
10．[解析] 过点A作AE⊥CD于点E，分别在Rt△BCD和Rt△ACE中，利用锐角三角函数用BD表示CD，CE的长，然后根据CD－CE＝AB，即可求得CD的长．
解：过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，∴CD＝BD·tan60°＝BD，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝，
∴CE＝BD·tan30°＝BD.
∵AB＝CD－CE，∴BD－BD＝42，
BD＝42，解得BD＝21 ，
∴CD＝BD·tan60°＝BD＝63米．
答：11号楼的高度CD为63米．
11．解：(1)∠α＝76°.
(2)过点E作EG⊥FB，垂足为G.设EF的中点为O，过点O作OH⊥FB，垂足为H，如图①，可知OH是△EFG的中位线．
∵OH＝1.9 m，∴EG＝2OH＝3.8 m，
∴点E离地面FB的高度为3.8 m.
(3)延长AE交直线PB于点G，如图②，
设AG＝x m，
在Rt△QAG中，tan∠AQG＝，得QG＝x m.
在Rt△PAG中，tan∠APG＝，得PG＝x m.
∵PQ＋QG＝PG，∴4＋x＝x，解得x≈9.46.
由(2)知EG＝3.8 m，∴AE≈5.7 m.
∴旗杆AE的高度约为5.7 m.
微信/支付宝扫码支付