第二章 一元二次方程
一、选择题(本大题共7小题，共21分)
1．要使方程(a－3)x2＋(b＋1)x＋c＝0是关于x的一元二次方程，则( )
A．a≠0
B．a≠3
C．a≠3且b≠－1
D．a≠3且b≠－1且c≠0
2．用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3＝0时，配方后的方程可以是( )
A．(x－1)2＝4 B．(x＋1)2＝4
C．(x－1)2＝16 D．(x＋1)2＝16
3．关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是( )
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为( )
A．1或4 B．－1或－4
C．－1或4 D．1或－4
5．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数的年平均增长率为x，则下列方程中正确的是( )
A．12(1＋x)＝17
B．17(1－x)＝12
C．12(1＋x)2＝17
D．12＋12(1＋x)＋12(1＋x)2＝17
6．已知2是关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，
并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )
A．10 B．14
C．10或14 D．8或10
图1
7．如图1，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，花圃面积为80 m2，设与墙垂直的一边长为x m，则可以列出关于x的方程是( )
A．x(26－2x)＝80
B．x(24－2x)＝80
C．(x－1)(26－2x)＝80
D．x(25－2x)＝80
二、填空题(本大题共6小题，共24分)
8．已知关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，则另一个根及m的值分别为________．
9．关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是________(填序号)．
10．已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝________．
11．已知一元二次方程x2－3x－4＝0的两根是m，n，则m2＋n2＝________．
12．经过两次连续降价，某药品的销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是____________．
13．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2.
三、解答题(共55分)
14．(12分)我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请选择你认为适当的方法解下列方程：
(1)x2－3x＋1＝0； (2)(x－1)2＝3；
(3)x2－3x＝0； (4)x2－2x＝4.
15．(9分)已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
16．(10分)如图2，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．
(部分参考数据：322＝1024，522＝2704，482＝2304)
图2
17．(12分)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
(1)求平均每次下调的百分率．
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．
18．(12分)在图3中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：
图3
(1)观察图形，请填写下列表格：
正方形边长
1
3
5
7
…
n(奇数)
黑色小正方形的个数
…
正方形边长
2
4
6
8
…
n(偶数)
黑色小正方形的个数
…
(2)在边长为n(n≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为p1，白色小正方形的个数为p2，问是否存在偶数n，使p2＝5p1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．
答案
1．B [解析] 由a－3≠0，得a≠3.
2．A [解析] 由x2－2x－3＝0，得x2－2x＋(－1)2＝3＋(－1)2，即(x－1)2＝4.
3．D
4．B [解析] 因为x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，
所以4＋5a＋a2＝0，解得a1＝－1，a2＝－4.当a＝－1或a＝－4时均符合题意．故选B.
5．C [解析] 设游客人数的年平均增长率为x，
则2016年的游客人数为：12×(1＋x)，
2017年的游客人数为：12×(1＋x)2.
那么可得方程：12(1＋x)2＝17.
故选C.
6．B [解析] 将x＝2代入方程可得4－4m＋3m＝0，解得m＝4，则此时方程为x2－8x＋12＝0，解方程得x1＝2，x2＝6，则三角形的三边长为2，2，6或者2，6，6.因为2＋2＜6，所以2，2，6无法构成三角形．因此△ABC的三边长分别为2，6，6，所以△ABC的周长为2＋6＋6＝14.
7．A [解析] ∵与墙垂直的一边长为x m，
∴与墙平行的一边长为(26－2x)m，
根据题意，得x(26－2x)＝80.
故选A.
8．－4，10 [解析] 依题意，得3×()2＋m－8＝0，解得m＝10.
设方程的另一根为t，则t＝－，所以t＝－4.
综上所述，另一个根是－4，m的值为10.
9．①③ 10.6
11．17 [解析] ∵m，n是一元二次方程x2－3x－4＝0的两个根，∴m＋n＝3，mn
＝－4，则m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝9＋8＝17.
12．50(1－x)2＝32
13．12.5 [解析] 设其中一段铁丝的长为x cm，则另一段铁丝的长为(20－x)cm，则两个正方形的面积之和为＋＝(x2－20x＋100)＋12.5＝(x－10)2＋12.5，
∴当两小段铁丝的长都等于10 cm时，两个正方形的面积之和最小，最小值为12.5 cm2.
14．解：(1)b2－4ac＝9－4＝5，
x＝＝，
x1＝，x2＝.
(2)两边直接开平方，得x－1＝±，
x1＝1＋，x2＝1－.
(3)原方程可化为x(x－3)＝0，
x＝0或x－3＝0，
x1＝0，x2＝3.
(4)配方，得x2－2x＋1＝4＋1，
整理，得(x－1)2＝5，
开平方，得x－1＝±，
x1＝1＋，x2＝1－.
15．解：(1)证明：∵在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
(2)∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，
∴x1＝2，x2＝k＋1.
∵方程有一个根小于1，
∴k＋1＜1，解得k＜0，
∴k的取值范围为k＜0.
16．解：解法1：
利用平移，原图可转化为图①，设道路宽为x m，
根据题意，得(20－x)(32－x)＝540，
整理，得x2－52x＋100＝0，
解得x1＝50(舍去)，x2＝2.
答：道路的宽为2 m.
解法2：
利用平移，原图可转化为图②，设道路宽为x m，
根据题意，得20×32－(20＋32)x＋x2＝540，
整理，得x2－52x＋100＝0，
解得x1＝2，x2＝50(舍去)．
答：道路的宽是2 m.
17．[解析] 本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键．
解：(1)设平均每次下调的百分率为x.
由题意，得5(1－x)2＝3.2.
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1
＝0.2＝20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
(2)小华选择方案一更优惠．
理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5000＝14400(元)，
方案二所需费用为3.2×5000－200×5＝15000(元)．
因为14400
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