圆中的基本概念及定理（讲义）
Ø 课前预习
在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为 ，固定的线段长称为 ，还知道半径为 r 的圆的周长为 ，面积为 ．
在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点 O 称为圆心，线段 OA 称为半径．
B
A
O
一条弧 AB 和经过这条弧的两条半径 OA，OB 所组成的图形叫做扇形．
顶点在圆心的角叫做圆心角．
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Ø 知识点睛
O
1. 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点 A 所形成的图形叫做 ．其固定的端点 O叫做 ，线段 OA 叫做 ．以点 O 为圆心的圆，记作 ，读作“圆 O”．
2. 圆中概念：
O
弧： ，弧包括 和 ； 弦： ； 圆周角： ； 圆心角： ； 弦心距： ； 等圆： ；
等弧： ．
O
3. 圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是 ； 圆是中心对称图形，其对称中心为 ．
4. 圆中基本定理：
*（1）垂径定理：
． 推论：
．
O
（2）四组量关系定理：在 中，如果
、 、 、
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
圆中处理问题的思路：
①找圆心，连半径，转移边；
②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；
③遇直径，找直角，由直角，找直径；
④由弧找角，由角看弧．
（3）圆周角定理： ． 推论 1： ． 推论 2： ，
． 推论 3： ． 注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
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Ø 精讲精练
1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结论不一定成立的是（ ）
︵ ︵
A．CM=DM B． CB =BD
C．∠ACD=∠ADC D．OM=MB
C
D
O
A
B
A
M
O
B C
6
第 1 题图 第 2 题图
6
2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB=
的半径为 ．
，则⊙O
6
3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm．
A
8 mm
B
C
D
A
R
B
O
第 3 题图 第 4 题图
4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB=12 m，桥拱高 CD=4 m，则拱桥的直径为 ．
5. 如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，垂足为 E，连接 OB，
6
CB．已知⊙O 的半径为 2，AB= 2
，则∠BCD= ．
3
A
B
C
O
E
D
6
1. 如图，⊙O 的弦 CD 与直径 AB 相交，若∠BAD=50°，则
∠ACD= ．
D C
D
A O B O
C A B
第 6 题图 第 7 题图
2. 一个圆形人工湖如图所示，弦 AB 是湖上的一座桥，已知桥
AB 长 100 m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径
AD 为 ．
3. 如图，在半径为 3 的⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E， 连接 AC，BD，若 AC=3，则∠D= ．
C
O
E
B
A
D
A
O
B
4. 如图，∠AOB=100°，点 C 在⊙O 上，且点 C 不与 A，B 重合， 则∠ACB 的度数为（ ）
A．50°
B．80°或 50° C．130°
D．50°或 130°
5. 如图，点 D 为边 AC 上一点，点 O 为边 AB 上一点，AD=DO．以
O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交 AC 于另一点 E，交 AB
于 F，G 两点，连接 EF．若∠BAC=22°，则∠EFG= ．
E
C
D
A F O G B
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1. 如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，如果它的一个外角
∠DCE=64°，那么∠BOD 的度数为 _．
O
D
B
C
E
A
2. 如图，⊙O 的两条弦 AB，CD 互相垂直，垂足为 E，且 AB=CD， 已知 CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是 ．
O
E
A
C D
B
3. 已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，则 AB，CD 之间的距离为 ．
4.
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【参考答案】
Ø 课前预习
圆心；半径；2πr；πr2
Ø 知识点睛
1. 圆；圆心；半径；⊙O．
2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧；劣弧； 连接圆上任意两点的线段叫做弦；
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角； 顶点在圆心的角叫做圆心角；
圆心到弦的距离叫做弦心距； 能够重合的两个圆叫做等圆；
在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧
3. 任意一条过圆心的直线；圆心．
4. （1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
（2）同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距．
（3）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 同弧或等弧所对的圆周角相等；
直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 圆内接四边形对角互补．
Ø 精讲精练
1. D
2. 2
3. 8
4. 13 m
5. 30°
6. 40°
2
7. 100 cm
8. 60°
9. D 10. 33° 11. 128°
5
12.
13. 7 cm 或 17 cm
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