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2015--2016学年度下学期省五校高二6月考试
数学（理）试题
全卷满分150分 时间120分钟
说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题，一律答在答题卡上；第Ⅱ卷为主观题，按要求答在试卷相应位置上。
第I卷 选择题(满分60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2.若复数z满足zi = 1 + 2i，则z的共轭复数是 ( )
A． B． C． D．
3.已知命题：“”，命题：“直线与直线互相垂直”，则命题是
命题的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若平面向量满足，，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
5.已知为等差数列，且，则的最大值为 （ ）
A.8 B.10 C.18 D.36
6.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1536石，
验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约（ ）
A.134石 B.169石 C. 192石 D.338
7.已知实数满足约束条件 则 的最大值
为( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
8.程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ）
A．2 B．－ C．－3 D．
9.已知函数，其中，若对x∈R恒成立，且，则等于( )
A． B． C． D．
1
2
2
主视图
侧视图
2
2
俯视图
2
10.一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的
等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A.20 B. C.
11.已知直线与双曲线（）的渐近线
交于两点，且过原点和线段中点的直线的斜率为，则的值（ ）
A. B. C. D.
12.函数是定义在上的奇函数，当时，则方程在上的所有实根之和为（ ）
A.0 B.2 C.4 D.6
第二卷 非选择题（满分90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知的展开式中，的系数为1，则__________.
14.已知等比数列{}为递增数列，，且3（＋）＝10，则公比q＝__________．
15.已知抛物线与经过该抛物线焦点的直线在第一象限的交点为在轴和准线上的投影
分别为点 ，，则直线的斜率为 .
16.已知函数，对任意，都有，则实数的取值范围是____________.
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分 ）
已知的内角的对边分别为，且满足
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的面积为，且求的值.
18.（本小题满分12分）
某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下表是在某单位得到的数据（人数）：
（Ⅰ）能否有90％以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关?
赞同
反对
合计
男
5
6
11
女
11
3
14
合计
16
9
25
（Ⅱ）进一步调查：
①从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述
发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；
②从反对“男女延迟退休”的9人中选出3人进行座
谈，设参加调查的女士人数为X,求X的分布列和数学期望．
附：
19.（本小题满分12分）
在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，
AE＝BE＝2，G是BC的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥EG：
（Ⅱ）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知为椭圆上的一个动点，弦分别过左右焦点，且当线段的中点在轴上时，.
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设,试判断是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由.
21. 已知函数.
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数，均有1＋＋…＋≥（e为自然对数的底数）．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-1： 几何证明选讲．
第22题图
如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求的长．
23.（本小题满分10分）选修4-4： 坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出直线的参数方程，若直线与曲线有公共点，求的取值范围；
（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数=，
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对任意，都有，使得=成立，求实数的取值范围.
2015--2016学年度五校联考
高二数学（理）答案
一.选择题答案：每小题5分，共60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
D
C
C
D
A
C
A
B
C
二.填空题：每小题5分，共20分
13.2 14. 15. 16.
三.解答题
17.解：解析：（Ⅰ）∵，
∴，
∴，∴，-------------4分
由正弦定理得，∴.----------------6分
（Ⅱ）∵∴，，
所以，，----------------------------8分
当时，
∴，∴.--------------------------------10分
当时，
∴，∴.
故或----------------------------------------12分
18. 解：（1）
由此可知，有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关 …………………………3分
(2) ①记题设事件为,则所求概率为……………………….7分
②根据题意，X服从超几何分布，，………………8分
X
0
1
2
3
P
· X的分布列为：
·
----------------------------------------------10分-
X的数学期望为 ………………12分
19．（1）证明：∵平面，平面，平面∴, 又
∴,,两两垂直.以点为坐标原点，,,分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系
由已知得，,,,,,
∴,
∴ ∴……………………….6分
（2）解：由已知得是平面的法向量.-----------------------------7分
设平面的法向量为.∵,
∴，即，令,得---------------9分
设平面与平面所成锐二面角的大小为
则---------------------11分
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ………………………………12分
20.解：（Ⅰ）当线段的中点在轴上时，垂直于轴，为直角三角形.
因为,所以,易知,由椭圆的定义.
.……………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为焦点坐标为……………………6分
(1)当 的斜率都存在时,设 ,,
则直线的方程为,代入椭圆方程得
.. ------------------------8分
又.同理 .……10分
(2) 若轴,则，这时.
若轴,则这时也有.------------------------------------11分
综上所述,是定值6.……………………12分
21.（1）解：由题意．……………………………2分
当时，函数的定义域为，
此时函数在上是减函数，在上是增函数，
，无最大值．………………………………………………4分
当时，函数的定义域为，
此时函数在上是减函数，在上是增函数，
，无最大值．………………………………………………6分
（2）取，由⑴知，
故， …………………………………………………………10分
取，则．……………………………12分
22.解：（Ⅰ）∵,
∴∽,∴……………………2分
又∵,∴, ∴,
∴∽， ∴， ∴…………4分
又∵，∴．……………………5分
（Ⅱ）∵, ∴ ，∵ ∴
由（1）可知：，解得.……………………7分
∴． ∵是⊙的切线，∴
∴，解得．……………………10分
23.解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0，∴曲线C的直角坐标方程为.
∵直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，∴直线l的参数方程为 （t为参数），
将，代入，整理，得t2﹣8tcosα+8=0，………3分
∵直线l与曲线C有公共点，∴△=64cos2α﹣32≥0，即 或，
∵α∈．………10分
24.解：（1）由得， ，解得 .
所以原不等式的解集为 ………5分
（2）因为对任意，都有，使得=成立
所以，又，
所以从而………10分
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