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第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
一、选择题
1.有下列三个命题：
（1）两点之间线段最短
（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直
（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
其中真命题的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
2.一个三角形至少有（ ）
A. 一个锐角 B. 两个锐角 C. 一个钝角 D. 一个直角
【答案】B
3.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为（ ）
A. 11平方厘米 B. 12平方厘米 C. 13平方厘米 D. 14平方厘米
【答案】B
4.若三条线段中a=3，b=5，为奇数，那么由a、b、c为边组成的三角形共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 无数多个 D. 无法确定
【答案】B
5.三角形三条高的交点在一边上，则这个三角形是 （ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能
【答案】B
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6.某轮船往返于A、B两地之间，设船在静水中的速度不变，那么，当水的流速增大时，轮船往返一次所用的时间（ ）
A. 不变 B. 增加 C. 减少 D. 增加，减少都有可能
【答案】B
7.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠CAD的度数为（ ）
A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
【答案】A
8.已知△ABC中，∠A与∠C的度数比为5:7，且∠B比∠A大10°，那么∠B为( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
【答案】C
9.某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；
丙说：“903班得第三，904班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（ ）
A. 901班 B. 902班 C. 903班 D. 904班
【答案】B
10.下列命题：
①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；
其中真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
11.下列说法正确的有（ ）
①不相交的两条直线是平行线；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
④在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c不相交．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【答案】B
12.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠BDC等于（ ）
A. 42° B. 66° C. 69° D. 77°
【答案】C
二、填空题
13.命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题________
【答案】如果两个三角形全等，那么对应的三边相等
14.等腰三角形的一个角是100°，其底角是________ °
【答案】 40°、40°
15.“等角的补角相等”的条件是________ ，结论是________ ．
【答案】如果两个角都是某一个角的补角；那么这两个角相等
16.如图,小林已经画出了一个三角形的两条角平分线,他说:“我不用再将第三个角平分,就能画出第三条角平分线.”他说的有道理吗?他会怎样做?答:________.他这样做的理由是什么?答:________.
【答案】有道理；连接CO,并延长交AB于点F,则CF即为∠ACB的平分线;三角形的三条角平分线交于一点
17.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在200个小伙子中，如果某人不亚于其他199人，就称他为棒小伙子，那么，200个小伙子中的棒小伙子最多可能有 ________
【答案】200个
18.请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： ________
【答案】两个角相等三角形是等腰三角形
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19.如图，AD为△ABC中线，点G为重心，若AD=6，则AG=________ ．
【答案】4
20.命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是________ ，成立吗________ ．
【答案】如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等；不成立
21.已知三角形的两边长是方程x 2－5x＋6=0的两个根，则该三角形的周长 的取值范围是________．
【答案】6＜ ＜10
22.A、B、C、D、E、F六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B队比赛的球队是 ________
【答案】E
三、解答题
23.请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例．
【答案】解：条件：两个角分别是两个相等角的余角； 结论：这两个角相等
这个命题是真命题，
已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角
求证：∠3=∠4，
证明：∵∠3是∠1的余角．∠4是的余角
∴∠3=90°﹣∠1，∠4=90°﹣∠2，
又∠1=∠2∴∠3=∠4．
24.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．
【答案】解答：∵AB＝AC，BD是AC边上的中线，
∴AB=2AD=2CD，∴AB+AD=3AD.
①当AB与AD的和是12厘米时，
AD=12÷3=4（厘米），
所以AB=AC=2×4=8（厘米），
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BC=12+15-8×2=12+15-16=11（厘米）；
②当AB与AD的和是15厘米时，
AD=15÷3=5（厘米），
所以AB=AC=2×5=10（厘米），
BC=12+15-10×2=12+15-20=7（厘米）.
25.证明三角形的内角和定理：
已知△ABC（如图），求证：∠A+∠B+∠C=180°
【答案】证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
即三角形内角和等于180°．
26.如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点，
（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是________；
（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是________；
（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．
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【答案】（1）105°
（2）120°
（3）解：∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+ ∠ABC+ ∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC= ∠A+90°=105°；
∴若∠A=n°，∠BOC= n°+90°；
27.已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为线段CB上一点（不与C，B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图（1），
①若∠BAC=42°，∠DAE=30°，则α=________，β=________．
②若∠BAC=54°，∠DAE=36°，则α=________，β=________．
③写出α与β的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请直接写出α与β的数量关系．
【答案】（1）12°；6°；18°；9°
（2）解：α=2β﹣180°，理由是：
如图（2），设∠E=x°，则∠DAC=2x°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=α+2x°，
∴∠B=∠ACB= ，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
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∴β﹣x°= +α，
∴α=2β﹣180°．
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