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第14章 全等三角形 单元测试
一、选择题
1.如图，两个三角形全等，则∠a度数是（ ）
A. 72° B. 60° C. 58° D. 50°
【答案】D
2.已知：△ABC≌△DEF，AB=DE,∠A=70°，∠E=30°，则∠F的度数为 （ ）
A. 80° B. 70° C. 30° D. 100°
【答案】A
3.已知：如图△ABC≌△DCB，其中点A与点D，点B与点C分别是对应顶点，如果AB=2，AC=3，CB=4，那么DC的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 不确定
【答案】A
4. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD
【答案】D
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5.如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是 （ ）
A. ∠DAE=∠CBE B. ΔDEA不全等于ΔCEB C. CE=DE D. ΔEAB是等腰三角形
【答案】B
6.如图，在△ABC和△DBE中，BC=BE，还需再添加两个条件才能使△ABC≌△DBE，则不能添加的一组条件是（ ）
A. AB=DB，∠ A=∠ D B. DB=AB，AC=DE C. AC=DE，∠C=∠E D. ∠ C=∠ E，∠ A=∠ D
【答案】A
7.如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（ ）
A. PD=DQ B. DE=AC C. AE=CQ D. PQ⊥AB
【答案】D
8.如图甲、乙、丙三个三角形中能确定和右图△ABC完全重合的是（ ）
A. 甲和丙 B. 丙和乙 C. 只有甲 D. 只有丙
【答案】A
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9.如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠OAC等于（ ）
A. 65° B. 95° C. 45° D. 100°
【答案】B
10.如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACA′=30°，则∠BCB′的度数为（ ）
A. 20° B. 30° C. 35° D. 40°
【答案】B
11.下列是利用了三角形的稳定性的有（ ）个
①自行车的三角形车架；
②长方形门框的斜拉条；
③照相机的三脚架；
④塔吊上部的三角形结构．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
12.在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（ ）
A. △ACF B. △ACE C. △ABD D. △CEF
【答案】C
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二、填空题
13.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有________ 性．
【答案】稳定
14.如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是________ ．
【答案】三角形的稳定性
15.如图，AB∥CD，AC⊥BC，垂足为C．若∠A=40°，则∠BCD=________ 度．
【答案】50
16.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是： ________
【答案】AC=DF
17. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为4，则BE等于________．
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【答案】2
18.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=________ 度
【答案】90
19.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC ， ∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O ， 则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________．
【答案】ABC；DCB；HL；AOB；DOC；AAS
三、解答题
20.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD．求证：OB=OC．
【答案】证明：∵∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，
∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）
∴∠ACB=∠DBC．
∴∠OCB=∠OBC．
∴OB=OC（等角对等边）．
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21.如图，点A，C，D，B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．
【答案】证明：∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
∴AD=BC，
在△AED和△BFC中，
，
∴△AED≌△BFC（ASA），
∴DE=CF
22.已知：如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD，求证：CF=DF．
【答案】证明：连接AC，AD，
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED，
∴AC=AD，
∵AF⊥CD，
∴CF=DF．
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23.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外取一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．试判断ME与BC是否垂直，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，AF⊥AE，
∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°
∴∠1=∠2，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠FCA=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠FCA，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）解：如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
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∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC．
24.阅读
（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）2＜AD＜8
（2）解：证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM，EM，如图②所示：
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM=CF，
∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EM=EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF
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（3）解：BE+DF=EF；理由如下：
延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，
∴∠NBC=∠D，
在△NBC和△FDC中， ，
∴△NBC≌△FDC（SAS），
∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，
∴∠BCE+∠FCD=70°，
∴∠ECN=70°=∠ECF，
在△NCE和△FCE中， ，
∴△NCE≌△FCE（SAS），
∴EN=EF，
∵BE+BN=EN，
∴BE+DF=EF
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