2018年秋九年级数学上册21.2二次函数的图象和性质21.2.2第4课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质同步练习新版沪科版.doc

1 21.2.3　二次函数表达式的确定 知识点 1　已知三点求二次函数的表达式 1．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c，当 x＝1 时，y＝2；当 x＝－1 时，y＝4；当 x＝0 时， y＝0.则这个二次函数的表达式为________． 2．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过 A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)三点，则 这个二次函数的表达式是____________． 3．如图 21－2－21 所示，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过 A，B，C 三点． (1)观察图象，写出 A，B，C 三点的坐标，并求出 抛物线的函数表达式； (2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴． 图 21－2－21 知识点 2　已知抛物线的顶点和图象上另外一点求二次函数的表达式 4．已知某二次函数的图象如图 21－2－22 所示，则这个二次函数的表达式为(　　) A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8 C．y＝ 2 9(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8 图 21－2－22 5．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c，当 x＝1 时，有最大值 8，其图象的形状、开口方向与 抛物线 y＝－2x2 相同，则这个二次函数的表达式是(　　) A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4 C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6 6．若一个二次函数的图象的顶点坐标为(3，－1)，与 y 轴的交点坐标为(0，－4)，则这 个二次函数的表达式是(　　) A．y＝ 1 3x2－2x＋4 B．y＝－ 1 3x2＋2x－4 C．y＝ 1 3(x＋3)2－1 D．y＝－x2＋6x－122 7．已知二次函数的图象过坐标原点，且顶点坐标是(1，－2)，则这个二次函数的表达式 为__________． 8．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表： x … － 3 2 －1 － 1 2 0 1 2 1 3 2 … y … － 5 4 －2 － 9 4 －2 － 5 4 0 7 4 … 则该二次函数的表达式为____________． 9．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为 3 2米的喷水管喷水的最大高度为 4 米，此时喷水的水平距离为 1 2米，在如图 21－2－23 所示的平面直角坐标系中，求这支喷泉的 函数表达式． 图 21－2－23 10．若函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分取值如下表所示，则由表格中的信息可知 y 与 x 之间 的函数表达式是(　　) x －1 0 1 ax2 1 ax2＋bx＋c 8 3 A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4 C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8 11．如图 21－2－24，抛物线 y＝ax2＋2x＋c 经过点 A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列 问题： (1)求此抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，求 BD 的长．3 图 21－2－24 12．如图 21－2－25，直线 y＝x＋2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，AB⊥BC，且点 C 在 x 轴上．若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 以 C 为顶点，且经过点 B，求这条抛物线的表达式． 图 21－2－25 13．［2016·娄底］如图 21－2－26，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)经 过点 A(－1，0)，B(5，－6)，C(6，0)． (1)求抛物线的表达式． (2)在直线 AB 下方的抛物线上是否存在点 P 使四边形 PACB 的面积最大？若存在，请求出4 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 图 21－2－26 14．已知抛物线 l：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 均不为 0)的顶点为 M，与 y 轴的交点为 N. 我们称以 N 为顶点，对称轴是 y 轴且过点 M 的抛物线为抛物线 l 的衍生抛物线，直线 MN 为抛 物线 l 的衍生直线． (1)抛物线 y＝x2－2x－3 的衍生抛物线的表达式是____________，衍生直线的表达式是 ____________； (2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是 y＝－2x2＋1 和 y＝－2x＋1，求这条 抛物线的表达式．5 1．y＝3x2－x　2．y＝－x2＋2x＋2 3．解：(1)A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)，函数表达式为 y＝x2－2x－3. (2)抛物线顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线 x＝1. 4．D　[解析] 由题图知抛物线的顶点坐标是(1，－8)，所以设抛物线的表达式是 y＝a(x －1)2－8.因为点(3，0)在这个二次函数的图象上，所以 0＝a×(3－1)2－8，解得 a＝2.所以 这个二次函数的表达式为 y＝2(x－1)2－8. 5．D 6．B　[解析] 设抛物线的表达式为 y＝a(x－3)2－1，把(0，－4)代入，得 a×(－3)2－ 1＝－4，解得 a＝－ 1 3，所以抛物线的表达式为 y＝－ 1 3(x－3)2－1＝－ 1 3x2＋2x－4.故选 B. 7．y＝2x2－4x　[解析] 设这个二次函数的表达式为 y＝a(x－1)2－2. 根据图象过原点，得 0＝a×(0－1)2－2， 解得 a＝2.故这个二次函数的表达式是 y＝2(x－1)2－2，即 y＝2x2－4x. 8．y＝x2＋x－2　[解析] 结合表格由二次函数的对称性可知此二次函数的图象的顶点坐 标是(－ 1 2，－ 9 4)，所以可设该二次函数的表达式为 y＝a(x＋ 1 2)2－ 9 4， 又由题表可知该二次函数的图象经过点(－1，－2)， 所以－2＝a×(－1＋ 1 2)2－ 9 4，解得 a＝1. 所以该二次函数的表达式为 y＝(x＋ 1 2)2－ 9 4＝x2＋x－2. 9．解：由题图可知，抛物线的顶点坐标为( 1 2，4)，且经过点(0， 3 2)． 设抛物线的表达式为 y＝a(x－ 1 2)2＋4. 把点(0， 3 2)代入，可求得 a＝－10. 所以这支喷泉的函数表达式为 y＝－10(x－ 1 2)2＋4. 10． A [解析] ∵x＝1 时，ax2＝1，∴a＝1. 将(－1，8)，(0，3)分别代入 y＝x2＋bx＋c 中，得{1－b＋c＝8， c＝3， 解得{b＝－4， c＝3. ∴y 与 x 之间的函数表达式是 y＝x2－4x＋3.故选 A. 11．解：(1)因为抛物线 y＝ax2＋2x＋c 经过点 A(0，3)，B(－1，0)， 所以{c＝3， a－2＋c＝0， 解得{a＝－1， c＝3. 所以抛物线的函数表达式为 y＝－x2＋2x＋3.6 (2)抛物线 y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4 的顶点坐标为(1，4)， 所以 BD＝ BE2＋DE2＝ 22＋42＝2 5. 12．解：当 x＝0 时，y＝2，所以点 B 的坐标是(0，2)． 当 y＝0 时，x＝－2，所以点 A 的坐标是(－2，0)， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝45°. ∵∠ABC＝90°， ∴OC＝OB＝OA＝2， ∴点 C 的坐标是(2，0)． 设抛物线的表达式为 y＝a(x－2)2，∵抛物线过点 B(0，2)，∴4a＝2，解得 a＝ 1 2. 因此抛物线的表达式为 y＝ 1 2(x－2)2＝ 1 2x2－2x＋2. 13．解：(1)设 y＝a(x＋1)(x－6)(a≠0)， 把 B(5，－6)代入，得 a×(5＋1)×(5－6)＝－6， 解得 a＝1， ∴y＝(x＋1)(x－6)＝x2－5x－6. ∴抛物线的表达式为 y＝x2－5x－6. (2)存在． 分别过点 P，B 向 x 轴作垂线 PM 和 BN，垂足分别为 M，N. 设 P(m，m2－5m－6)，四边形 PACB 的面积为 S， 则 PM＝－m2＋5m＋6，AM＝m＋1，MN＝5－m，CN＝6－5＝1，BN＝6， ∴S＝S△AMP＋S 梯形 PMNB＋S△BNC ＝ 1 2(－m2＋5m＋6)(m＋1)＋ 1 2(6－m2＋5m＋6)(5－m)＋ 1 2×1×6 ＝－3m2＋12m＋36 ＝－3(m－2)2＋48. 当 m＝2 时，S 有最大值为 48，这时 m2－5m－6＝22－5×2－6＝－12， ∴P(2，－12)． 14．解：(1)y＝－x2－3　y＝－x－3 (2)由{y＝－2x2＋1， y＝－2x＋1， 解得{x1＝0， y1＝1，{x2＝1， y2＝－1. ∴待求抛物线与 y 轴的交点为 N(0，1)，抛物线的顶点为 M(1，－1)． ∴设抛物线的表达式为 y＝a(x－1)2－1，把 N(0，1)代入，得 1＝a×(0－1)2－1，解得 a ＝2. ∴这条抛物线的表达式为 y＝2(x－1)2－1，即 y＝2x2－4x＋1.