2018年北师大版九年级下《1.5三角函数的应用》同步练习含答案.docx

‎5　三角函数的应用 知识点 1　解决与方向角有关的问题 ‎1．如图1－5－1，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(　　)‎ A．250米 B．250 米 C. 米 D．500 米 图1－5－1　　　图1－5－2‎ ‎2．如图1－5－2，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为(　　)‎ A．(40＋40 )海里 B．80 海里 C．(40＋20 )海里 D．80海里 ‎3．2017·十堰如图1－5－3，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？‎ 图1－5－3‎ 知识点 2　解决与仰角、俯角有关的问题 ‎4．如图1－5－4所示，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为(　　)‎ A．100 m B．50 m ‎ C．50 m D. m 图1－5－4　　　图1－5－5‎ ‎5．如图1－5－5所示，在天水至宝鸡(天宝)高速公路建设中需要确定某条隧道AB的长度．已知在离地面2700米高度(C处)的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别是60°和30°，则隧道AB的长为__________米．(结果保留根号)‎ ‎6．[2016·成都] 在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图1－5－6，在测点A处安置测倾器，量出高度AB＝1.5 m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE＝32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC＝20 m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)‎ 图1－5－6‎ ‎ 知识点 3　解决与坡度、坡角有关的问题 ‎7．一个台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图1－5－7所示，则下列关系或说法正确的是(　　)‎ A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°‎ C．AC＝1.2tan10°米D．AB＝米 图1－5－7　　　图1－5－8‎ ‎8．[2017·四川] 如图1－5－8所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6 米，背水坡CD的坡度i＝1∶(i为DF与FC的比值)，则背水坡的坡长为__________米．‎ ‎9．小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其倾斜角变为75°，如果拖把的总长为1.80 m，则小明拓宽了行路通道________m．(结果精确到0.01 m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97)‎ ‎10．如图1－5－9，小华站在贵阳花溪水库的堤坝上的G点，看见水库里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离DG＝1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为________米．(结果保留根号)‎ 图1－5－9‎ ‎11．[2017·德州] 如图1－5－10所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒．已知∠B＝30°，∠C＝45°.‎ ‎(1)求B，C之间的距离；(结果保留根号)‎ ‎(2)如果此地限速80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．‎ ‎(参考数据：≈1.7，≈1.4)‎ 图1－5－10‎ ‎12．2017·遵义模拟在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1 km的飞机跑道MN(如图1－5－11)，在跑道MN的正西端14.5 km处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15 km的B处；经过1 min，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5 km的C处．‎ ‎(1)该飞机航行的速度是多少km/h？(结果保留根号)‎ ‎(2)如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．‎ 图1－5－11‎ 详解 ‎1．A ‎2．A　[解析] 根据题意得PA＝40 海里，∠A＝45°，∠B＝30°.‎ 在Rt△PAC中，AC＝PC＝PA·cos45°＝40 ×＝40(海里)，‎ 在Rt△PBC中，BC＝＝＝40 (海里)，‎ ‎∴AB＝AC＋BC＝(40＋40 )海里．‎ 故选A.‎ ‎3．解：过点A作AC⊥BD于点C，则AC的长是点A到BD的最短距离．‎ 依题意知∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，‎ ‎∴∠BAD＝60°－30°＝30°，∠ABD＝90°－60°＝30°，‎ ‎∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝12海里．‎ ‎∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，‎ ‎∴CD＝AD＝6海里，‎ 由勾股定理得AC＝＝6 (海里)＞8海里，‎ 故渔船没有触礁的危险．‎ ‎4．A　[解析] 因为tanB＝tan30°＝＝＝，解得BC＝100 ，即B，C两地之间的距离为100 m．故选A.‎ ‎5．1800 　[解析] 由题意得∠CAO＝60°，∠CBO＝30°.‎ ‎∵OA＝＝2700×＝900 ，OB＝＝2700 ，‎ ‎∴AB＝2700 －900 ＝1800 (米)．‎ 故填1800 .‎ ‎6．解：由题意得AC＝20 m，AB＝1.5 m.‎ ‎∵在Rt△DBE中，∠DBE＝32°，‎ BE＝AC＝20 m，‎ ‎∴DE＝BEtan32°≈20×0.62＝12.4(m)，‎ ‎∴CD＝DE＋CE＝DE＋AB≈12.4＋1.5＝13.9(m)．‎ 答：旗杆CD的高度约为13.9 m.‎ ‎7．B ‎8．12　[解析] 锐角三角函数的简单实际应用．在等腰直角三角形ABE中，AB＝6 米，AE＝DF＝6米，由坡度知∠DCF＝30°，则CD＝2DF＝12米．‎ ‎9．1.28　‎ ‎[解析] 如图，在Rt△DCE中，‎ ‎∵cos∠EDC＝，‎ ‎∴DC＝DE·cos∠EDC＝1.8×cos15°≈1.746(m)．‎ 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－75°＝15°.‎ ‎∵sin∠BAC＝，‎ ‎∴BC＝AB·sin∠BAC＝1.8×sin15°≈0.468(m)．‎ ‎∴BD＝DC－BC≈1.28 m.‎ ‎10．(8 －5.5)　[解析] 如图，过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG.‎ ‎∵i＝＝，AB＝8，‎ ‎∴BE＝，AE＝.‎ ‎∵DG＝1.6，BG＝0.7，‎ ‎∴DH＝DG＋GH＝1.6＋＝8，‎ AH＝AE＋EH＝＋0.7＝5.5.‎ 在Rt△CDH中，‎ ‎∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝8，tan30°＝＝，‎ ‎∴CH＝8 .‎ 又∵CH＝CA＋5.5，‎ 即8 ＝CA＋5.5，‎ ‎∴CA＝8 －5.5.‎ 即CA的长是(8 －5.5)米．‎ ‎11．解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝10 m.‎ ‎∵在Rt△ACD中，∠C＝45°，‎ ‎∴Rt△ACD是等腰直角三角形．‎ ‎∴CD＝AD＝10 m.‎ 在Rt△ABD中，tanB＝，‎ ‎∵∠B＝30°，∴＝，∴BD＝10 m.‎ ‎∴BC＝BD＋CD＝(10 ＋10)m.‎ 答：B，C之间的距离是(10 ＋10)m.‎ ‎(2)这辆汽车超速．理由如下：‎ 由(1)知BC＝(10 ＋10)m，又≈1.7，‎ ‎∴BC≈27 m.‎ ‎∴汽车速度v＝＝30(m/s)．‎ 又30 m/s＝108 km/h，此地限速80 km/h，‎ ‎∵108＞80，∴这辆汽车超速．‎ 答：这辆汽车超速．‎ ‎12．解： (1)由题意，得∠BAC＝90°，AB＝15 km，AC＝5 km，‎ ‎∴BC＝＝10 (km)，‎ ‎∴飞机航行的速度为10 ÷＝600 (km/h)．‎ ‎(2)能．理由如下：‎ 如图，过点C作CE⊥l于点E，设直线BC交l于点F.‎ 在Rt△ABC中，AC＝5 km，BC＝10 km，‎ ‎∴∠ABC＝30°，即∠BCA＝60°.‎ 又∵∠CAE＝30°，∴∠ACE＝∠FCE＝60°，‎ ‎∴CE＝AC·sin∠CAE＝ km，‎ AE＝AC·cos∠CAE＝ km.‎ 则AF＝2AE＝15 km.‎ ‎∵AN＝AM＋MN＝14.5＋1＝15.5(km)，‎ ‎∴AM＜AF＜AN，‎ ‎∴飞机不改变航向继续航行，可以降落在跑道MN之间．‎