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2015-2016学年度高二年级第二学期第三次质量检测
数学试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．已知集合，，则= ．
2.已知命题，则是__________________.
3.函数的定义域是__________________.
4.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则__________.
5.设定义在上的奇函数在区间上是单调减函数，且，则实数的取值范围是__________________,
6.已知的解集是，则实数的取值范围是________________.
7. 若曲线在点=1处的切线与直线垂直，则=______.
8.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_____________.
9. 函数，若存在唯一正实数根,则取值范围是 ．
10. 已知，且，则的最小值是_____．
11.已知命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_____________.
12.若函数有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是__________.
13.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于4，则的值为____________.
14. 设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有
且，则称为上的高调函数，现给出下列命题：
(1)函数为上的1高调函数； （2）函数为上的高调函数；
（3）若函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是；
（4）函数为上的2高调函数.
其中正确命题的序号是_______________________(写出所有正确命题的序号).
二、解答题：（本大题共6个小题，共计90分）
15.（本小题满分14分）
已知不等式，对任意的很成立，关于的方程
，一个根在上，另一个根在上，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
16.（本小题满分14分）
设函数．
（1）若不等式的解集，求的值；
（2）若，求的最小值．
17.(本小题满分14分)
已知函数
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）若函数在区间（0,1）上为单调函数，求实数的取值范围.
18.（本小题满分16分）
中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm，宽26 cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为 cm和 cm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．
（1）试用表示L；
（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm，每个菱形的面积为130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？
19.（本小题满分16分）
设，函数.
（1）若为奇函数，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围；
20.（本小题满分16分）
已知函数在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；
（3）若函数的两个零点为，试判断的正负，并说明理由.
第三次质量检测参考答案
1. 2. 3. 4.-2 5.
6. 7. 8. 9. 10.10 11.
12. 13.7 14.②③④
15.命题当时，恒成立，符合题意， --------------------1分
当时，须满足
， 解得，
所以命题为真命题时，的取值范围是. --------------------3分
命题令，则题意，
解得. -------------------6分
因为为真命题，为假命题，所以一真一假，
（1）当真假时有，解得， --------10分
（2）当假真时有，此不等式组的解集为空集.--------------13分
综上所述，的取值范围是. ----------------------14分
16.（1）由的解集为，所以方程的根为-1，3，
由根与系数的关系可得：，解得； ---------------7分
（2）由，得，又因为，
所以，
所以的最小值为9. ----------------------------------------------14分
17.（1）当时，，所以该函数的定义域为，--------2分
又因为， ---------------------------------------------4分
令，得，列表如下：
1
-
0
+
单调减
极小值
单调增
函数的极小值为， -----------------------------7分
所以函数的极小值只有极小值为3，没有极大值. ------------------------8分
（2）可得，， ----------------10分
设，函数在区间上为单调函数，
，， --------------------------------13分
所以实数的取值范围是. --------------------------------14分
18.(1) 由菱形的两条对角线长分别为 cm和 cm，则菱形的边长为，
由对称性知水平方向上的支条长为，竖直方向上的支条长为，-----4分
所以所需支条的长度之和
----------6分
（2）（法一）
由题意则，解得，又因为每个菱形的面积为130，所以，
所以,， ---------------------------8分
----------------10分
令，可求得，
， -----------------12分
恒成立，所以函数在区间上单调递增
所以函数有最小值， ---------------------------15分
所以做这样一个窗芯至少需要cm的条形木料. -----------------16分
（法二）由题意则，解得，又因为每个菱形的面积为130，所以，
所以,， ---------------------------8分
----------------10分
令，可求得，
，-----------13分
而函数与函数都是增函数，
所以函数有最小值， ---------------------------15分
所以做这样一个窗芯至少需要cm的条形木料. -----------------16分
19.（1）若为奇函数，则，令得，，
即，所以，此时为奇函数. -------------------------4分
（2）因为对任意的，恒成立，所以，--------------6分
①当时，对任意，恒成立，所以适合题意.-8分
②当时，易得在区间上是单调增函数，在上是单调减函数，在上是单调增函数. --------------------------------------10分
（Ⅰ）当时，，解得，所以. -----11分
（Ⅱ）当时，，解得，所以不存在.----------13分
（Ⅲ）当时，，
解得，所以. ------------------------------15分
综上所述，的取值范围是. ----------------------------------16分
20. （1）由题意得，因函数在处的切线方程为，
所以，得. ---------------------------------------------4分
（2）由（1）知对任意都成立，
所以，即对任意都成立，从而. ----------------6分
又不等式整理可得，令，
所以，得， ----------------8分
当时，，函数在上单调递增，
同理，函数在上单调递减，所以，
综上所述，实数的取值范围是. -------------------------------------------------------------10分
（3）结论是. --------------------------------------------------------------11分
证明：由题意知函数，所以，
易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可------12分
因为是函数的两个零点，所以，相减得，
不妨令，则，则，所以，，
即证，即证， ----------------------------------------14分
因为，所以在上单调递增，所以，
综上所述，函数总满足成立. --------------------------------------16分
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