23.2 第4课时 坡角(坡度)问题
知识点 1 坡度(坡比)
1．［2016·巴中］一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图23－2－33所示，则下列关系或说法正确的是( )
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米
D．AB＝米
图23－2－33
2．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 米，则这个坡面的坡度为________．
知识点 2 坡角
3．如图23－2－34，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4 m，此时，他离地面的高度h为2 m，则这个土坡的坡角为________°.
图23－2－34
4．如图23－2－35所示，某水库迎水坡AB的坡度i＝1∶，则该坡的坡角α＝________°.
图23－2－35
5．已知一段坡面，其铅直高度为4 m，坡面长为8 m，则坡度i＝________，坡角α＝________°.
知识点 3 坡面距离、坡面的水平距离、铅直距离
6．如图23－2－36，某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5米，那么这两棵树在坡面上的距离AB为( )
A．5cosα米 B.米
C．5sinα米 D.米
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图23－2－36
7．［2017·江淮十校四模］如图23－2－37是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( )
A．4 米 B．6 米 C．12 米 D．24米
图23－2－37
8．某人沿着坡度i＝1∶的山坡走了50米，则他离地面________米高．
9．如图23－2－38，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°.小明种的两棵树之间的坡面距离AB是6米．如果要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，那么小明种的这两棵树是否符合要求？
(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)
图23－2－38
10．如图23－2－39，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3 米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB＝10米，则旗杆BC的高度为( )
A．5米 B．6米
C．8米 D．(3＋)米
图23－2－39
11．［2017·德阳］如图23－2－40所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6 米，背水坡CD的坡度i＝1∶(i为DF与FC的比)，则背水坡的坡长为________米．
图23－2－40
12．某校为加强社会主义核心价值观教育，在清明节期间，组织学生参观渡江战役纪念馆．渡江战役纪念馆实物如图23－2－41①所示．某数学兴趣小组同学突发奇想，我们能测量斜坡的长和馆顶的高度吗？他们画出渡江战役纪念馆示意图如图②，经查资料，获
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得以下信息：斜坡AB的坡度i＝1∶，BC＝50米，∠ACB＝135°，求AB的长及过点A作的高是多少．(结果精确到0.1米．参考数据：≈1.41，≈1.73)
图23－2－41
13．如图23－2－42，某水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中BC∥AD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)
图23－2－42
14．如图23－2－43，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为5°.
参考数据
α＝5°
α＝12°
sinα
0.09
0.21
cosα
1.0
0.98
tanα
0.09
0.21
(1)求坡高CD；
(2)求斜坡的新起点A与原起点B的距离AB.
6
(精确到0.1米)
图23－2－43
15．［2016·宿州二模］如图23－2－44，某数学活动小组要测量楼AB的高度，楼AB在太阳光的照射下在水平面上的影长BC为6米，在斜坡CE上的影长CD为13米，此时身高1.5米的小红在水平面上的影长为1.35米，斜坡CE的坡度为1∶2.4，求楼AB的高度．
图23－2－44
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教师详解详析
1．B
2．1∶2 [解析] 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 米，根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为4 米．所以这个坡面的坡度为2 ∶4 ＝1∶2.
3．30
4．30 [解析] 坡角的正切值即为坡度．
5．1∶1 45
6．B [解析] ∵BC＝5米，∠CBA＝α，∴AB＝＝米．故选B.
7．B
8．25 [解析] ∵坡度i＝1∶，
∴坡角＝30°.
∴他离地面的高度＝50×sin30°＝25(米)．
9．解：∵在Rt△ABC中，cos20°＝，
∴AC＝6×cos20°≈6×0.94＝5.64(米)．
∵5.64米在5.3～5.7米范围内，
∴小明种的这两棵树符合要求．
10． A
[解析] 在Rt△ADC中，∵CD∶AD＝1∶2，AC＝3 ，设CD＝a，则AD＝2a，由勾股定理，得a2＋(2a)2＝(3 )2，解得a＝3(负值已舍去)．在Rt△ABD中，设BC＝x，则BD＝3＋x，AD＝6，根据勾股定理，得62＋(3＋x)2＝102，解得x＝5(负值已舍去)．故选A.
11．12 [解析] 在等腰直角三角形ABE中，AB＝6 ，则AE＝BE＝6，则DF＝6.由坡度知∠DCF＝30°，则CD＝2DF＝12米．
12．解：如图，过点A作AD⊥BC交其延长线于点D.
∵∠ACB＝135°，
∴∠ACD＝45°，
∴△ADC为等腰直角三角形．
设AD＝x，则CD＝x.
在Rt△ADB中，BD＝50＋x.
∵斜坡AB的坡度i＝1∶，
∴x∶(50＋x)＝1∶，
解得x＝≈68.5，∴AD≈68.5.
在Rt△ABD中，易得∠B＝30°，∠D＝90°，
∴AB＝2AD≈137.0米．
答：AB的长约为137.0米，过点A作的高约是68.5米．
13．解：如图，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F.
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由题意可知BE＝CF＝20，BC＝EF＝6，∠D＝30°.
在Rt△ABE中，i＝＝，即＝，
∴AE＝50.
在Rt△CDF中，tan30°＝，即＝，
∴DF＝20 ≈34.64，
∴AD＝AE＋EF＋DF≈50＋6＋34.64＝90.64≈90.6(米)．
答：坝底AD的长度约为90.6米．
14．解：(1)在Rt△BCD中，CD＝BC·sin12°≈10×0.21＝2.1(米)．
即坡高CD约为2.1米．
(2)在Rt△BCD中，BD＝BC·cos12°≈10×0.98＝9.8(米)．
在Rt△ACD中，AD＝≈≈23.33(米)，
所以AB＝AD－BD≈23.33－9.8＝13.53≈13.5(米)．
所以斜坡的新起点A与原起点B的距离AB约为13.5米．
15．解：如图，过点D作DN⊥AB，交AB的延长线于点N，过点C作CM⊥DN，垂足为M，
则CM∶MD＝1∶2.4＝5∶12.
设CM＝5x，则MD＝12x，
由勾股定理得CD＝＝13x＝13，
∴x＝1，
∴CM＝5，MD＝12.
易知四边形BCMN为矩形，
∴MN＝BC＝6，BN＝CM＝5.
∵太阳光线为平行光线，光线与水平面所成的角度相同，角度的正切值也相同，
∴AN∶DN＝1.5∶1.35＝10∶9，
∴9AN＝10DN＝10×(6＋12)＝180，
∴AN＝20，∴AB＝20－5＝15(米)．
答：楼AB的高度为15米．
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