3 机械能守恒定律及其应用
一、选择题(1～6题为单项选择题，7～10题为多项选择题)
1．关于机械能守恒，下列说法中正确的是( )
A．物体做匀速运动，其机械能一定守恒
B．物体所受合力不为零，其机械能一定不守恒
C．物体所受合力做功不为零，其机械能一定不守恒
D．物体沿竖直方向向下做加速度为5 m/s2的匀加速运动，其机械能减少
解析 物体做匀速运动其动能不变，但机械能可能变，如物体匀速上升或下降，机械能会相应的增加或减少，选项A错误；物体仅受重力作用，只有重力做功，或受其他力但其他力不做功或做功的代数和为零时，物体的机械能守恒，选项B、C错误；物体沿竖直方向向下做加速度为5 m/s2的匀加速运动时，物体一定受到一个与运动方向相反的力的作用，此力对物体做负功，物体的机械能减少，故选项D正确。
答案 D
2．如图1所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换为质量为3m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B下降h时的速度为( )
图1
A. B. C. D.
解析 根据系统机械能守恒得，对A下降h的过程有mgh＝Ep，对B下降h的过程有3mgh＝Ep＋×3mv2，解得v＝，只有选项A正确。
答案 A
3．(2018·前黄中学)一轻绳系住一质量为m的小球悬挂在O点，在最低点先给小球一水平初
速度，小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，若在水平半径OP的中点A处钉一枚光滑的钉子，仍在最低点给小球同样的初速度，则小球向上通过P点后将绕A点做圆周运动，则到达最高点N时，绳子的拉力大小为 ( )
图2
A．0 B．2mg C．3mg D．4mg
解析 恰能做圆周运动，则在最高点有
mg＝，
解得v＝。
由机械能守恒定律可知
mg2R＝mv－mv2，
解得初速度v0＝，根据机械能守恒，在最高点N的速度为v′，则：
mgR＝mv－mv′2
根据向心力公式：T＋mg＝，
联立得T＝3mg。故选项C正确。
答案 C
4．将一小球从高处水平抛出，最初2 s内小球动能Ek随时间t变化的图象如图3所示，不计空气阻力，g取10 m/s2。根据图象信息，不能确定的物理量是( )
图3
A．小球的质量
B．小球的初速度
C．最初2 s内重力对小球做功的平均功率
D．小球抛出时的高度
解析 由机械能守恒定律可得Ek＝Ek0＋mgh，又h＝gt2，所以Ek＝Ek0＋mg2t2。当t＝0时，Ek0＝mv＝5 J，当t＝2 s时，Ek＝Ek0＋2mg2＝30 J，联立方程解得m＝0.125 kg，v0＝4 m/s。当t＝2 s时，由动能定理得WG＝ΔEk＝25 J，故＝＝12.5 W。根据图象信息，无法确定小球抛出时离地面的高度。综上所述，应选D。
答案 D
5．如图4所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端固定一光滑的小定滑轮，质量分别为m和2m的两小物块A、B用轻绳连接，其中B被垂直斜面的挡板挡住而静止在斜面上，定滑轮与A之间的绳子水平，已知绳子开始时刚好拉直，且A与定滑轮之间的距离为l。现使A由静止下落，在A向下运动至O点正下方的过程中，下列说法正确的是 ( )
图4
A．物块B始终处于静止状态
B．物块A运动到最低点时的速度大小为
C．物块A运动到最低点时的速度方向为水平向左
D．绳子拉力对物块B做正功
解析 若物块B不会滑动，则当物块A向下运动到最低点时，绳子上的拉力必大于mg，故物块B一定会向上滑动，所以A错误；设物块A运动到最低点时，定滑轮与A之间的距离为x，对A、B由机械能守恒有＋＝mgx－2mg(x－l)sin θ，得vA＝，则vA＜，A的速度方向不垂直绳子，B、C错误；B向上运动，绳子拉力做正功，D正确。
答案 D
6．如图5所示，可视为质点的小球A和B用一根长为0.2 m 的轻杆相连，两球质量相等，开始时两小球置于光滑的水平面上，并给两小球一个2 m/s的初速度，经一段时间两小球滑上一个倾角为30°的光滑斜面，不计球与斜面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2，在两小球的速度减小为零的过程中，下列判断正确的是( )
图5
A．杆对小球A做负功
B．小球A的机械能守恒
C．杆对小球B做正功
D．小球B速度为零时距水平面的高度为0.15 m
解析 将小球A、B视为一个系统，设小球的质量均为m，最后小球B上升的高度为h，根据机械能守恒定律有×2mv2＝mgh＋mg(h＋0.2 m×sin 30°)，解得h＝0.15 m，选项D正确；以小球A为研究对象，由动能定理有－mg(h＋0.2 m×sin 30°)＋W＝0－mv2，可知W＞0，可见杆对小球A做正功，选项A、B错误；由于系统机械能守恒，故小球A增加的机械能等于小球B减小的机械能，杆对小球B做负功，选项C错误。
答案 D
7．如图6所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
图6
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，物体B在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，B机械能守恒
C．丙图中，斜面光滑，物体在推力F作用下沿斜面向下运动的过程中，物体机械能守恒
D．丁图中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒
解析 弄清楚机械能守恒的条件是分析此问题的关键。表解如下：
选项
结论
分析
A
×
物体压缩弹簧的过程中，物体所受重力和弹簧的弹力都对其做功，所以A机械能不守恒
B
√
物体沿斜面下滑过程中，除重力做功外，其他力做功的代数和始终为零，所以B机械能守恒
C
×
物体下滑过程中，除重力外还有推力F对其做功，所以物体机械能不守恒
D
√
物体沿斜面下滑过程中，只有重力对其做功，所以物体机械能守恒
答案 BD
8．(2018·浙江舟山模拟)如图7所示，一个小环沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动。小环从最高点A滑到最低点B的过程中，小环线速度大小的平方v2随下落高度h的变化图象可能是( )
图7
解析 对小环由机械能守恒定律得mgh＝mv2－mv，则v2＝2gh＋v，当v0＝0时，B正确；当v0≠0时，A正确。
答案 AB
9．(2018·金陵中学)一钢球从某高度自由下落到一放在水平地面的弹簧上，从钢球与弹簧接触到压缩到最短的过程中，弹簧的弹力F、钢球的加速度a、重力所做的功WG以及小球的机械能E与弹簧压缩量x的变化图线如下图(不考虑空间阻力)，选小球与弹簧开始接触点为原点，建立图示坐标系，并规定向下为正方向，则下述选项中的图象符合实际的是( )
图8
解析 由于向下为正方向，而弹簧中的弹力方向向上，A错误；对小球受力分析易知，B正确；根据重力做功的计算式WG＝mgx可知，C正确；小球和弹簧整体的机械能守恒，D错误。
答案 BC
10．2022年第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，跳台滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图9所示为一简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从O点由静止开始，在不借助其他外力的情况下，自由滑过一段圆心角为60°的光滑圆弧轨道后从A点水平飞出，然后落到斜坡上的B点。已知A点是斜坡的起点，光滑圆弧轨道半径为40 m，斜坡与水平面的夹角θ＝30°，运动员的质量m＝50 kg，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力。下列说法正确的是( )
图9
A．运动员从O点运动到B点的整个过程中机械能守恒
B．运动员到达A点时的速度为20 m/s
C．运动员到达B点时的动能为10 kJ
D．运动员从A点飞出到落到B点所用的时间为 s
解析 由题意可得，运动员从O点运动到B点的整个过程机械能守恒，选项A正确；由圆周运动过程机械能守恒可得，运动员到达A点时的速度为20 m/s，选项B
正确；由机械能守恒和平抛运动规律可知运动员到达B点时的竖直方向分速度为v⊥＝v0·2tan θ＝ m/s，则运动员到达B点时的动能大于10 kJ，选项C错误；设运动员从A点飞出到落到B点所用的时间为t，则v⊥＝gt，t＝ s，选项D错误。
答案 AB
二、非选择题
11.质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图10所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：
图10
(1)小球P的速度大小；
(2)在此过程中小球P机械能的变化量。
解析 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v。由机械能守恒定律得
2mg·L－mg·L＝mv2＋·2m·(2v)2，
解得v＝。
(2)小球P机械能增加量ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL
答案 (1) (2)增加了mgL
12．如图11所示，质量为3 kg小球A和质量为5 kg的B通过一压缩弹簧锁定在一起，静止于光滑平台上，解除锁定，两小球在弹力作用下分离，A球分离后向左运动恰好通过半径R＝0.5 m的光滑半圆轨道的最高点，B球分离后从平台上以速度vB＝3 m/s水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，g＝10 m/s2，求：
图11
(1)A、B两球刚分离时A的速度大小；
(2)弹簧锁定时的弹性势能；
(3)斜面的倾角α。
解析 (1)小球A恰好通过半径R＝0.5 m的光滑半圆轨道的最高点，设在最高点速度为v0，
在最高点有mAg＝mA，
物体沿光滑半圆轨道上滑到最高点的过程中机械能守恒，
mAg·2R＋mAv＝mAv，联立解得vA＝5 m/s。
(2)根据机械能守恒定律，弹簧锁定时的弹性势能
Ep＝mAv＋mBv＝60 J。
(3)B球分离后做平抛运动，根据平抛运动规律有
h＝gt2，解得t＝0.4 s，vy＝gt＝4 m/s，
小球刚好沿斜面下滑，tan α＝＝，解得α＝53°。
答案 (1)5 m/s (2)60 J (3)53°
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