2019高考数学考点突破——函数概念：函数的奇偶性与周期性Word版含解析.doc

函数的奇偶性与周期性 ‎【考点梳理】‎ ‎1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 ‎2．函数的周期性 ‎(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、函数奇偶性的判断 ‎【例1】判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝x3－2x；‎ ‎(2)f(x)＝(x＋1)；‎ ‎(3) f(x)＝＋；‎ ‎(4)f(x)＝ ‎[解析] (1)定义域为R，关于原点对称，‎ 又f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)．‎ ‎∴该函数为奇函数.‎ ‎(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．‎ ‎∵函数定义域不关于原点对称，‎ ‎∴函数为非奇非偶函数.‎ ‎(3)由得x2＝3，解得x＝±，‎ 即函数f(x)的定义域为{－，}，‎ 从而f(x)＝＋＝0.‎ 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.‎ ‎(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，‎ 则当x＜0时，－x＞0，‎ 故f(－x)＝x2－x＝f(x)；‎ 当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，‎ 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：‎ ‎2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)‎ A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x ‎[答案] D ‎[解析] 对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数.‎ ‎2．判断函数f(x)＝的奇偶性．‎ ‎[解析] 函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，‎ 当x>0时，－x0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x0时，f(x)＝x3＋x＋1，所以f(－x)＝－x3－x＋1.又函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝－x3－x＋1.‎ 考点三、函数的周期性及其应用 ‎【例4】设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________.‎ ‎[答案] 1009‎ ‎[解析] ∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.‎ 又当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1.‎ ‎∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1，‎ ‎∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.‎ ‎【变式1】若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？‎ ‎[解析] ∵f(x＋1)＝－f(x)，‎ ‎∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x).‎ 故函数f(x)的周期为2.‎ 由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.‎ ‎【变式2】若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝”，则结论如何？‎ ‎[解析] ∵f(x＋1)＝，‎ ‎∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝f(x).‎ 故函数f(x)的周期为2.‎ 由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．‎ ‎2．函数周期性的三个常用结论：‎ ‎(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝‎2a，‎ ‎(2)若f(x＋a)＝，则T＝‎2a，‎ ‎(3)若f(x＋a)＝－，则T＝‎2a(a＞0)．‎ ‎【对点训练】‎ 函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f 的值为(　　)‎ A． B． C．－ D．－ ‎[答案] A ‎[解析] ∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2.∴f ＝f ＝f ＝2××＝.‎ 考点四、函数性质的综合运用 ‎【例5】设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________.‎ ‎[答案] ‎[解析] 由f(x)＝ln(1＋|x|)－，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|).当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，两边平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1，所以使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是.‎ ‎【类题通法】‎ 抽象不等式问题的解题步骤为：①将所给的不等式化归为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题．‎ ‎【对点训练】‎ 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)＋f ≤2f(1)，那么t的取值范围是________.‎ ‎[答案] ‎[解析] 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)＝f ，由f(ln t)＋f ≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t|‎ ‎≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.‎ ‎【例6】若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝ 则f ＋f ＝________.‎ ‎[答案] ‎[解析] 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f ＋f ＝f＋f ＝f ＋f ＝－f －f ＝－＋sin ＝.‎ ‎【类题通法】‎ 函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．‎ ‎【对点训练】‎ f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，则f＝(　　)‎ A．＋1 B．－1 C．－－1 D．－＋1‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由题可知f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f ＝f ＝f ＝－f ＝－f .又当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，所以f ＝－1，则f ＝－f ＝－＋1.‎ ‎【例7】已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：‎ ‎①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x10；‎ ‎②f(x＋4)＝－f(x)；‎ ‎③y＝f(x＋4)是偶函数．‎ 若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2017)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)‎ A．a