2018北师大版高中数学必修五3.2 基本不等式与最大（小）值达标练习含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ [A　基础达标]‎ ‎1．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是(　　)‎ A．3　　　　　　　　　　 B．3－2 C．3－2 D．－1‎ 解析：选C.y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，‎ 当且仅当3x＝，即x＝时取等号．‎ ‎2．函数y＝log2(x>1)的最小值为(　　)‎ A．－3 B．3‎ C．4 D．－4‎ 解析：选B.因为x＋＋5‎ ‎＝(x－1)＋＋6‎ ‎≥2＋6＝8.‎ 所以log2≥3，所以ymin＝3.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．‎ ‎3．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)‎ A．16 B．25‎ C．9 D．36‎ 解析：选B.(1＋x)(1＋y)≤ ‎＝＝＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.‎ ‎4．已知x＞1，y＞1且xy＝16，则log2x·log2y(　　)‎ A．有最大值2 B．等于4‎ C．有最小值3 D．有最大值4‎ 解析：选D.因为x＞1，y＞1，‎ 所以log2x＞0，log2y＞0.‎ 所以log2x·log2y≤ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝＝4，‎ 当且仅当x＝y＝4时取等号．‎ 故选D.‎ ‎5．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝(　　)‎ A．－3 B．2‎ C．3 D．8‎ 解析：选C.y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，因为x>－1，所以x＋1>0，所以y≥2－5＝2×3－5＝1.当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，即a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.‎ ‎6．已知x，y>0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为________．‎ 解析：x＋＋y＋ ‎＝x＋＋y＋ ‎＝3＋≥3＋2＝5，当且仅当x＝y＝时等号成立．‎ 答案：5‎ ‎7．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________．‎ 解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.‎ 答案： ‎8．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．‎ 解析：因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，所以＋＝1，因为a>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，所以2a＋b的最小值为8.‎ 答案：8‎ ‎9．求下列函数的最小值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值；‎ ‎(2)设x＞－1，求y＝的最小值．‎ 解：(1)2x＋y＝ ‎＝(2x＋y)‎ ‎＝≥(2＋4)＝.‎ 当且仅当＝时等号成立，即y2＝4x2.‎ 所以y＝2x.‎ 又因为＋＝3，得x＝，y＝.‎ 所以当x＝，y＝时，2x＋y取得最小值为.‎ ‎(2)因为x＞－1，所以x＋1＞0.‎ 设x＋1＝t＞0，则x＝t－1，‎ 于是有y＝＝ ‎＝t＋＋5≥2＋5＝9，‎ 当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.‎ 所以当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.‎ ‎10.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.‎ ‎(1)试用x，y表示S；‎ ‎(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？‎ 解：(1)由题可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，‎ S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝(3x－16)＝1 832－6x－y(x＞6，y＞6，xy＝1 800)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)法一：S＝1 832－6x－y≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，‎ 当且仅当6x＝y，xy＝1 800，‎ 即x＝40，y＝45时，S取得最大值1 352.‎ 法二：S＝1 832－6x－× ‎＝1 832－≤1 832－2 ‎＝1 832－480＝1 352，‎ 当且仅当6x＝，‎ 即x＝40时取等号，S取得最大值．此时y＝＝45.‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎11．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则实数m的最大值为(　　)‎ A．8　　　　　　　　　 B．7‎ C．6 D．5‎ 解析：选C.由已知，可得6＝1，‎ 所以2a＋b＝6·(2a＋b)＝‎ ‎6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝时等号成立，‎ 所以9m≤54，即m≤6，故选C.‎ ‎12．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．‎ 解析：＝＋＋，由基本不等式得，＋＋≥2＋＝4ab＋≥4，当且仅当＝，4ab＝同时成立时等号成立．‎ 答案：4‎ ‎13．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)．‎ ‎(1)求xy的最小值；‎ ‎(2)求x＋y的最小值．‎ 解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 得 ‎(1)因为x＞0，y＞0，‎ 所以3xy＝x＋y＋1≥2＋1，‎ 所以3xy－2－1≥0，‎ 即3()2－2－1≥0.‎ 所以(3＋1)(－1)≥0.‎ 所以≥1，所以xy≥1.‎ 当且仅当x＝y＝1时，等号成立．‎ 所以xy的最小值为1.‎ ‎(2)因为x＞0，y＞0，‎ 所以x＋y＋1＝3xy≤3·，‎ 所以3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，‎ 所以[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.‎ 所以x＋y≥2.‎ 当且仅当x＝y＝1时取等号．‎ 所以x＋y的最小值为2.‎ ‎14．(选做题)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝2米，AD＝1米．‎ ‎(1)要使矩形AMPN的面积大于9平方米，则DN的长应在什么范围内？‎ ‎(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．‎ 解：(1)设DN的长为x(x>0)米，‎ 则|AN|＝(x＋1)米，‎ 因为＝，‎ 所以|AM|＝，‎ 所以S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝.‎ 由S矩形AMPN>9，得>9，‎ 又x>0，所以2x2－5x＋2>0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得00)．‎ 当且仅当2x＝即x＝1时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为8平方米．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费