数学试题（理工类）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于（ ）
A．-6 B． C． D．2
3.设等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．27 B．36 C．45 D．54
4.下列命题错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”
B．若命题，则
C．中，是的充要条件
D．若向量满足，则与的夹角为钝角
5.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
6.若用下边的程序框图求数列的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ）
A．
B．
C．
D．
7.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
8.已知实数满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．1
9.已知的外接圆半径为1，圆心为，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10.已知双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰过它们的公共焦点，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（ ）
A． B． C． D．
11.已知满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
12.已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 ．
14.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 ．
15.已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相
邻，则不同的排法种数有 ．
16.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知分别是的三个内角的对边，.
（1）求角的值；
（2）若，边上的中线的长为，求的面积.
18. （本小题满分12分）
某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别的关系，随机抽取50名学生，得到下面的数据表：
（1）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选修倾向变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握最大；
（2）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷，若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去倾向“坐标系与参数方程”人数的差为，求的分布列及数学期望.
19. （本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且平面，点是棱的中点.
（1）若，求点到平面的距离；
（2）过直线且垂直于直线的平面交于点，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
20. （本小题满分12分）
已知抛物线经过点，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.
（1）求线段的长；
（2）设不经过点和的动直线交于点和，交于点，如果直线的斜率依次成等差数列，判断直线是否过定点，并说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知函数，其中，是自然对数的底数.
（1）若方程无实数根，求实数的取值范围；
（2）若函数在内为减函数，求实数的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，内接于圆，为圆的直径，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交和圆于点，若.
（1）求证：；
（2）求的值.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线：（为参数），：（为参数）.
（1）求的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若上的点对应的参数，为上的动点，求中点到直线距离的最小值.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，且，求证：.
参考答案
DBDDC BAADA BC
13. 40 14. 15. 48 16.
17.解：（1）由，得，
所以，
，
因为，所以，，
∵，∴.
（2）在中，，，，
18.（1）选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”， ，
所以这两种选择与性别无关；
选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”，
因为，
所以可以有99%以上的把握，认为“坐标系与参数方程”和“平面几何选讲”这两种选择倾向与性别有关；
选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”，
因为，
所以可以有99%以上的把握，认为“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种选择倾向与性别有关.
综上，“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种倾向与性别有关系的把握最大.
（2）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为，
所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3.
依题意，得，
，，
，，
故的分布列如下：
所以.
19.解：（1）设与相交于点，则，连接，
∵平面，∴，又，
∴平面，∵平面，∴平面平面，
过作于点，则平面，
∴为点到平面的距离，∵到平面的距离相等，
在中，.
（2）连接，则为直角三角形，
设，过作于点，
则平面，
∴
，
当且仅当时，最大，
此时，，
以为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系，则有，，，，，，，
设平面的一个法向量为，
则有，，
取，则有，
∵直线平面，∴平面的一个法向量为，
易知二面角的平面角为锐角，
则.
20.解：（1）由抛物线经过点，得，故，
的方程为，
在第一象限的图象对应的函数解析式为，则，
故在点处的切线斜率为，切线的方程为，令，得，
所以点的坐标为，故线段的长为2.
（2）由题意可知的方程为，因为与相交，故，由，令，
得，故，设，，
由，消去得：，则，，
直线的斜率为，同理直线的斜率为，
直线的斜率为，因为直线的斜率依次成等差数列，
所以，
即，
整理得：，因为不经过点，所以，所以，
即，故的方程为，即恒过定点.
21.解：（1）由，得，即，∴无负实根.
故有，令，则，
由，得，由，得，∴在上单调递增，
在上单调递减，∴，∴的值域为，
要使得方程无实数根，则，即.
（2），
由题意知，对，恒成立，不妨设，有，
而当时，，故.
①当，且时，.
而当时，有，故，所以，
所以在内单调递减，故当时满足题意，
②当时，，且，即.
令，则，
.
当时，，此时，
则当时，，故在单增，
与题设矛盾，不符合题意，舍去.
所以，当时，函数是内的减函数.
22.（1）∵是圆的切线，∴，又是公共角，
∴∽，
∴，∴.
（2）由切割线定理得：，∴，
又，∴，
又∵是的平分线，∴,
∴，∴，，
又由相交弦定理得：.
23.（1），，
的圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点的椭圆.
（2）当时，，，故，
为直线，到的距离，
从而当，时，取得最小值.
24.（1）由题意，原不等式等价为，
令，
所以不等式的解集是.
（2）要证，只需证，
只需证，
而，
从而原不等式成立.
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