绍兴一中高二期末数学试卷
命题：杨瑞敏 校对：言利水
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．复数，则对应的点所在象限为(D )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设，则a，b，c的大小关系是（A ）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a
3．已知函数，则函数的大致图象为（ B）
4．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（ A ）
A．海里/时 B．34海里/时 C．海里/时 D．34海里/时
5. 已知函数，若，则的一个单调递增区间可以是(D )
6．已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点E是左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于点A，若tan∠AEF＜1，则双曲线的离心率e的取值范围是（ C ）
A．（1，+∞） B．（1，1+） C．（1，2） D．（2，2+）
【解答】解：由题意可得E（﹣a，0），F（c，0），
|EF|=a+c，
令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，
在直角三角形AEF中，tan∠AEF==＜1，
可得b2＜a（c+a），
由b2=c2﹣a2=（c﹣a）（c+a），可得
c﹣a＜a，即c＜2a，
可得e=＜2，但e＞1，可得1＜e＜2．
故选：C．
7．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是( B)
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
试题分析：当时，，，所以在函数图象存在两点使条件成立，故B正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选B.
考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.
8．已知函数f（x）（xR）是以4为周期的奇函数，当x（0，2）时，若函数f（x）在区间[-2，2]内有5个零点，则实数b的取值范围是（ C ）
A. B. C.或b= D.或b=
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
故f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，又由f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，故f（-2）=f（2），且f（-2）=-f（2），故f（-2）=f（2）=0，
即±2也是函数f（x）的零点，若函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数为5，
则当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x2-x+b），
故当x∈（0，2）时，x2-x+b＞0恒成立，
且x2-x+b=1在（0，2）有一解，
，所以 ①
令，所以或，即或 ②
由①②得.
二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．
9.函数的最小正周期是 ，最小值是 .
10. 若抛物线的焦点在直线上，则实数 ；抛物线C的准线方程为 . ;
11. 在中，分别为角的对边，如果，，，那么的面积等于
12.已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则sinθ= .tan(θ–)= .
【答案】
【解析】
试题分析：由题意，解得
所以，
13.在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的投影.若点在直线上的投影是，则的轨迹方程是 x2+（y+1）2=2 ．
解：直线恒过定点M（1，﹣2）
∵点P（﹣1，0）在直线上的射影是Q
∴PQ⊥直线l
故△PQM为直角三角形，Q的轨迹是以PM为直径的圆．
∴Q的轨迹方程是x2+（y+1）2=2．
14．已知，则f (2016) = ▲ ．
解析：
15．x∈R时，如果函数f(x)>g(x)恒成立，那么称函数f(x)是函数g（x）的“优越函数”．若函数f(x)=2x2+x+2-|2x+1|是函数g（x）=|x-m|的“优越函数”，则实数m的取值范围是 ▲ ．
15.解析：
题设条件等价于对恒成立.分别作出函数和.
由数形结合知，
三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本题满分8分)设函数的定义域为，函数的值域为.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）由，解得，所以，
又函数在区间上单调递减，所以，即，
当时，，
所以. …………4分
（2）首先要求
而“”是“”的必要不充分条件，所以，即
…6分
从而， 解得. ……8分
17.（本小题满分8分）设△的三内角，，所对的边分别为，，，
已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
解：（Ⅰ）由得：
，
∴，
故； -------------------------------4分
（Ⅱ）由，根据余弦定理得：
，
∴，---------------------------------6分
∴，
∴，得，
又由题意知：，
故：． ------------------------8分
18．（本小题满分10分）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，直线与椭圆交于，，证明：.
19．(本题满分10分)
已知函数是偶函数．
(I)求的值；
(II)设函数，其中．若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围．
19.
经验证，当k=-1时，f(-x)=f(x)成立，所以k=-1.……………………2分
法二：由得恒成立，所以
20 （本小题满分12分）
已知函数，，令.
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值；
（Ⅲ）若，且正实数满足，求证：.
20（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域为，由，得，
所以f（x）的单调递增区间为（0，1）.-----------2分
（Ⅱ）.
令，
则不等式恒成立，即恒成立.
.--------4分
①当时，因为，所以
所以在上是单调递增函数，
又因为，
所以关于x的不等式不能恒成立. --------6分
②当时，
令，因为，得，
所以当时，；当时，.[
因此函数在是增函数，在是减函数.---- 7分
故函数的最大值为
.---- 8分
令，因为在上是减函数，
又因为，，所以当时，.
所以整数m的最小值为2. ----10分
（Ⅲ）时，
由，得，即，
整理得， ---- 11分
令，则由得，，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以， 所以，解得，
因为为正实数，所以成立. ----12分
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