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试卷类型：A
肇庆市中小学教学质量评估
2015—2016学年第二学期统一检测题
高二数学（文科）
本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将考生号涂黑.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
参考公式：线性回归方程中系数计算公式：
，，其中，表示样本均值.
列联表随机变量. 与k对应值表：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（2）函数在点处的导数是
（A） （B） （C） （D）
（3）设的共轭复数是它本身，其中为实数，则=
（A） （B） （C） （D）
（4）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
（A） （B） （C） （D）或
（5）已知是的充分不必要条件，则是的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也必要条件
（6）在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的
（A）若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
（B）从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
（C）若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推断出现错误
（D）以上三种说法都不正确.
（7）如果复数的实部和虚部相等，则等于
（A） （B） （C） （D）
（8）函数的单调递增区间为
（A）与 （B） （C） （D）
（9）下列说法中错误的个数是
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归方程＝bx＋a必过(，)；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则有99.9%的把握认为这两个变量间有关系．
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（10）若函数在区间单调递增，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（11）若曲线的一条切线L与直线垂直，则L的方程是
（A） （B） （C） （D）
（12）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（13）命题“”的否定是 ▲ .
（14）观察下列等式：根据上述规律，第五个等式为 ▲ .
（15）已知函数，直线与曲线相切，则 ▲ .
（16）某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据（单位：百万元）.
根据上表提供的数据， 求出关于的线性回归方程为， 则表中的值为 ▲ .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求和在直角坐标系下的普通方程；
（Ⅱ）已知直线和曲线交于两点，求弦中点的极坐标.
（18）（本小题满分12分）
某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：
价格（元/kg）
10
15
20
25
30
日需求量（kg）
11
10
8
6
5
（Ⅰ）求关于的线性回归方程；
（Ⅱ）当价格元/kg时，日需求量的预测值为多少？
（19）（本小题满分12分）
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
5
女生
10
合计
50
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
（Ⅰ）补充完整上面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？
（Ⅱ）若采用分层抽样的方法从喜爱打篮球的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？
（20）（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱中，已知，．设的中点为，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明：.
（21）（本小题满分12分）
已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.
（Ⅰ）求的值及函数的极值；
（Ⅱ）证明：当时，.
（22）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论的单调区间；
（Ⅱ）设，当有两个极值点为，且时，求的最小值.
2015—2016学年第二学期统一检测题
高二数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
D
A
A
C
A
D
B
D
A
C
二、填空题
（13） （14） （15）0 （16）50
三、解答题
（17）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由得 ，得 ，
所以的普通方程为. （3分）
因为，所以的普通方程为. （5分）
（Ⅱ）由得 （7分）
，弦中点的横坐标为，代入得纵坐标为， （9分）
弦中点的极坐标为： （10分）
（18）（本小题满分12分）
解: (Ⅰ), （1分）
, （2分）
, （3分）
.（4分）
. （6分）
. （8分）
所求线性回归方程为. （9分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)知当时, . （11分）
故当价格元/ kg时，日需求量的预测值为kg. （12分）
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）这50人中喜爱打篮球的人数为（人）. （1分）
列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
（4分）
∵K2＝≈8.333＞7.879， （7分）
∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关． （8分）
（Ⅱ）男生应抽取的人数为（人）， （10分）
女生应抽取的人数为（人）. （12分）
（20）（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）依题意知是的中点，又因为是的中点，
所以是的中位线，所以. （2分）
又因为， （3分）
所以平面. （5分）
（Ⅱ）在直三棱柱中，，，所以.
（6分）
又因为，所以. （7分）
又因为，所以. （8分）
因为，所以矩形是正方形，所以. （9分）
因为，，所以. （11分）
又因为，所以. （12分）
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由，得. （1分）
又，得. （2分）
∴，，令，得. （3分）
当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在是单调递增； （4分）
∴当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. （6分）
（Ⅱ）令，则. （8分）
由（Ⅰ）得， （10分）
故在上单调递增，又， （11分）
∴当时，，即. （12分）
（22）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域.
， （1分）
令，得，
①当时，，此时恒成立，所以，在定义域上单调递增； （2分）
②当时，，的两根为，，
且.
当时，，单调递增； （3分）
当时，，单调递减； （4分）
当时，，单调递增； （5分）
综上，当时，的递增区间为，无递减区间；当时，的递增区间为，，递减区间为.
（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的两个极值点是方程的两个根，则，所以，. （8
分）
∴.
设，，
则. （9分）
∵， （10分）
当时，恒有，∴在上单调递减； （11分）
∴，∴. （12分）
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